Частотные критерии устойчивости

Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на, построении частотных характеристик и кривой Михайлова.

Критерии устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W (s); во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

D (l) = l n + a1 l n-1 + a2 l n-2 +... + an = 0. (13)

Зная его корни l 1, l 2,..., l n, характеристический многочлен для уравнения (1) запишем в виде

D (l) = (l - l 1) (l - l 2)... (l - l n). (14)

Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов (l - l i), как это показано на рис.12, а. Положим теперь, что l = j w; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12, б). При изменении w от - Ґ до + Ґ векторы j w - l 1 и j w - l ‘1 комплексных корней l и l ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p, а векторы j w - l 2 и j w - l ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p.

Таким образом, приращение аргумента arg(j w - l i) для корня характеристического уравнения l i, находящегося в левой полуплоскости, составит + p, а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p. Приращение результирующего аргумента D arg D(j w) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

D arg D(j w) = (n - m) p - m p = (n - 2m) p. (15)

- Ґ < w < Ґ для левой для правой

полуплоскости полуплоскости

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D (j w) = (j w)n + a1 (j w)n-1 + a2 (j w)n-2 +... + an (16)

содержит лишь четные степени w, а мнимая его часть - только нечетные, поэтому

arg D (j w) = - arg D (-j w), (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до Ґ. В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

D arg D(j w) = (n - 2m) p / 2. (18)

0 Ј w < Ґ

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

D arg D(j w) = n p / 2. (19)

0 Ј w < Ґ

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости (здесь n - порядок характеристического уравнения системы).