ПРИМЕРЫ. Пример 1.1.1. Определить изменение плотности воды при ее нагревании от t1= 7оС до t2 = 97оС, если коэффициент температурного расширения bt =0,0004 оС-1.

Пример 1.1.1. Определить изменение плотности воды при ее нагревании от t₁= 7^оС до t₂ = 97^оС, если коэффициент температурного расширения b_t =0, 0004 ^оС^-1.

Решение. При нагревании удельный объем воды увеличивается от V₁ до V₂.

По формуле (1.1.1) плотность воды при начальной и конечной температурах составляет:

r₁ = М / V₁, r₂ = М / V₂.

Так как масса воды постоянна, то изменение плотности выражается:

Из формулы (1.4) увеличение объема воды , тогда

Примечание: изменение плотности жидкости при сжатии определяется аналогично с использованием коэффициента объемного сжатия по формуле (1.1.2). При этом V₂ = V₁ - DV.

Пример 1.1.2. Определить объем расширительного бачка системы водяного охлаждения вместимостью 10 литров при нагревании от температуры t₁ = 15^оС до t₂ = 95^оС при давлении, близком к атмосферному.

Решение. Без учета коэффициента запаса объем бачка равен дополнительному объему воды при температурном расширении. Из формулы (1.1.4) увеличение объема воды

.

Плотности воды принимаем по таблице 1: r₁ = 998, 9 кг/м³, r₂ = 961, 8 кг/ м³. Коэффициент температурного расширения определяем по формуле (1.1.5):

Первоначальный объем V =10л = 10 ^.10^-3 м³ = 0, 01 м³.

Дополнительный объем воды:

DV = 10 ^.10^-3 (95 -15) 0, 46 ^.10^-3 = 368 ^.10^-6 м³ = 0, 368 л

Пример 1.1.3. В охлаждаемом сосуде газ, имеющий первоначальное давление Р₁ = 10⁵ Па. и занимающий объем V₁ = 0, 001 м³, сжимается до давления Р₂ = 0, 5 ^. 10⁶ Па. Определить объем газа после сжатия.

Решение. В случае охлаждаемого сосуда процесс является изотермическим (t = const) при котором уравнение состояния газа (1.1.8) принимает вид:

Р V = const или Р₁ V₁ = Р₂ V₂

Откуда определяем объем газа после сжатия

V₂= Р₁ V₁ / Р₂ = 1 ^. 10^{5 .} 0.001 / 0, 5 ^. 10⁶ = 0, 0002 м³ =0, 2 л.

Пример 1.1.4. Определить объем воды, который необходимо дополнительно подать в трубопровод диаметром d = 500 мм и длиной L = 1км, заполненный водой перед гидравлическим испытанием при атмосферном давлении и температуре t = 20^оС, для повышения давления в нем на DР = 5 ^.10⁶ Па. Материал труб считать абсолютно жестким.

Решение. Для определения дополнительного объема воды, который необходимо подать используем соотношение (1.1.2):

=

Первоначальный объем воды в трубопроводе равен объему трубопровода:

Приняв по справочным данным модуль объемной упругости воды

Е = 2 ^. 10⁹ Па, определяем коэффициент объемного сжатия:

b_V = 1 /Е = 1 / 2 ^. 10⁹ = 5 ^. 10^-10, Па^-1

Преобразовывая соотношение (1.1.2) относительно DV, получаем:

b_V DР V_ТР + b_V DР DV = DV; b_V DР V_ТР = (1 + b_V DР) DV

Выражая DV, получаем искомый дополнительный объем:

Пример 1.1.5. Определить среднюю толщину отложений d_ОТЛ в трубопроводе внутренним диаметром d = 0, 3 м и длиной L = 2 км, если при выпуске воды в количестве DV =0, 05 м³ давление в нем падает на величину DР = 1 ^. 10⁶ Па.

Решение. Взаимозависимость изменения объема и давления воды характеризуется модулем объемной упругости.

Принимаем: Е = 2^.10⁹ Па.

Из формул (1.1.2) и (1.1.3) находим объем воды в трубопроводе с отложениями:

Этот же объем равен вместимости трубопровода:

Откуда определяем средний внутренний диаметр трубы с отложениями

Средняя толщина отложений составляет:

Пример 1.1.6. Вязкость нефти, определенная по вискозиметру Энглера, составляет 8, 5^оЕ. Вычислить динамическую вязкость нефти, если ее плотность r = 850 кг/м³.

Решение. По эмпирической формуле Убеллоде (1.1.9) находим кинематическую вязкость нефти:

n = (0, 0731 ^оЕ – 0, 0631 / ^оЕ) 10^-4 =

= (0, 0731 ^. 8, 5 – 0.0631/8, 5) = 0, 614 ^. 10^-4 м²/с

Динамическую вязкость находим из соотношения (1.1.7):

m = n r = 0, 614 ^. 10^{-4 .} 850 = 0, 052 Па ^.с.

Пример 1.1.7. Определить высоту подъема воды в капиллярной трубке диаметром d = 0, 001 м при температуре t = 80^ОС.

Решение. По справочным данным находим:

плотность воды при температуре 80^ОС r = 971, 8 кг/м³;

поверхностное натяжение воды при температуре 20^ОС s_О = 0, 0726 Н/м;

коэффициент b = 0, 00015 Н/м ^ОС.

По формуле (1.1.11) находим поверхностное натяжение воды при температуре 80^ОС:

s = s_О - b Dt = 0, 0726 – 0, 00015 ^. (80 -20) = 0, 0636 Н/м

По формуле (1.1.12) изменение поверхностного давления, определяющего высоту капиллярного поднятия h_КАП, составляет:

Р_ПОВ = 2s / r или r g h_КАП = 2s / r,

откуда находим высоту подъема воды в трубке:

h_КАП = 2 s / r g r = 2^. 0, 0636 / 971, 8 ^. 9, 81 ^. 0, 0005 =

= 0, 1272 / 4, 768 = 0, 027 м =2, 7 см.

Пример 1.1.8. Определить абсолютное гидростатическое давление воды на дно открытого сосуда, наполненного водой. Глубина воды в сосуде h = 200 см. Атмосферное давление соответствует 755 мм рт. ст. Температура воды 20 ^оС. Выразить полученное значение давления высотой ртутного столба (r_РТ = 13600 кг/м³) и водного столба.

Решение: По основному уравнению гидростатики для открытого резервуара абсолютное давление в любой точке объема определяется по формуле (1.1.14):

Р_А = Р_а + r g h

По таблице 1 принимаем плотность воды при температуре 20 ^оС:

r = 998, 23 кг/м³.

Переводя единицы измерения атмосферного давления и глубины воды в сосуде в систему СИ, определяем абсолютное давление на дне сосуда:

Р_А = 755 ^.133, 322 + 998.23 ^. 9, 81 ^. 2 =

= 100658 + 19585 = 120243 Па =120, 2 КПа

Находим соответствующую высоту ртутного столба:

h_А = Р/ r_РТ g =120243 /13600 ^. 9, 81 = 0, 902 м.

Находим высоту водного столба, соответствующую данному абсолютному давлению:

h_А = Р_А / r g = 120243 / 998, 23 ^. 9, 81 = 12, 3 м.

Это означает, что если к уровню дна сосуда присоединить закрытый пьезометр (трубку, в которой создан абсолютный вакуум), то вода в нем поднимется на высоту 12, 3 м. Давление этого столба воды уравновешивает абсолютное давление, оказываемое на дно сосуда жидкостью и атмосферным давлением.

Пример 1.1. 9. В закрытом резервуаре с водой давление на свободной поверхности Р_О =14, 7 ^. 10⁴ Па. На какую высоту Н поднимется вода в открытом пьезометре, присоединенном на глубине h = 5 м. Атмосферное давление соответствует h_а = 10 м вод. ст.

Решение. Для решения данной задачи необходимо составить уравнение равенства абсолютных давлений со стороны резервуара и со стороны пьезометра относительно выбранной плоскости равного давления. Выберем плоскость равного давления 0-0 на уровне свободной поверхности в резервуаре.

Абсолютное давление со стороны резервуара на выбранном уровне равно поверхностному давлению:

Р_А = Р_О. (1)

Абсолютное давление на том же уровне со стороны жидкости в пьезометре складывается из атмосферного давления Р_а и давления воды высотой h₁:

Р_А = Р_а + r g h₁ (2)

Так как система находится в равновесии (покое), то абсолютные давления со стороны резервуара и со стороны пьезометра уравновешиваются. Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим:

Р_О = Р_а + r g h₁,

Величина атмосферного давления в системе СИ составляет:

Р_а = 9, 806 ^. 10 000 мм = 9, 806 ^. 10⁴ Па.

Находим высоту превышения уровня воды в пьезометре над выбранной плоскостью равного давления:

h₁ = (Р_О - Р_а) / r g = (14, 7 ^. 10⁴ - 9, 806 ^. 10⁴) /1000 ^. 9, 81 = 5 м.

Это превышение не зависит от точки подключения пьезометра, так как давления столбов жидкости высотой h ниже плоскости сравнения слева и справа взаимно компенсируются.

Общая высота воды в пьезометре больше высоты h₁ на глубину погружения точки присоединения пьезометра. Для данной задачи

Н = h_{1 +} h = 5 + 5 = 10 м.

Примечание: аналогичный результат можно получить, выбрав в качестве плоскости равного давления уровень подключения пьезометра.

Пример 1.1.10. Построить эпюру абсолютного давления жидкости на ломаную стенку в открытом резервуаре.

Решение. Абсолютное давление в случае открытого резервуара определяется по формуле (1.1.14):

Р_А = Р_а + r g h, т.е. избыточное давление в каждой точке увеличивается на величину поверхностного давления (закон Паскаля).

Избыточное давление определяется:

в т. С: Р = r g ^. 0 = 0

в т. В: Р = r g ^. Н₂

в т. А: Р = r g (Н₂ + Н₁)

Отложим значение избыточного давления в точке В по нормали к стенке СВ и соединим с точкой С. Получим треугольник эпюры избыточного давления на стенку СВ. Для построения эпюры абсолютного давления в каждой точке необходимо добавить значение поверхностного давления (в данном случае атмосферного).

Аналогично ведется построение эпюры для отрезка АВ: Отложим значения избыточного давления в точке В и в точке А в направлении нормали к линии АВ, соединим полученные точки. Абсолютное давление получаем, увеличивая длину вектора на величину, соответствующую атмосферному давлению.

Пример 1.1.11. Определить абсолютное давление воздуха в сосуде с водой, если показание ртутного манометра h = 368 мм, Н = 1 м, плотность ртути r_РТ =13600 кг/м³. Атмосферное давление соответствует 736 мм рт.ст.

Решение.

Выберем свободную поверхность ртути в качестве поверхности равного давления. Атмосферное давление на поверхности ртути уравновешивается абсолютным давлением воздуха в сосуде Р_А, давлением столба воды высотой Н и столба ртути высотой h.

Составим уравнение равновесия и определим из него абсолютное давление воздуха (переводя все единицы в систему СИ):

Р_а = Р_А + r_В g Н + r_РТ g h, откуда

Р_А = Р_а - r_В g Н - r_РТ g h =

= 736 ^. 133, 3 - 1000 ^. 9, 81 ^. 1 - 13600 ^. 9, 81 ^. 0, 368 = 39202 Па

Так как абсолютное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного, то в сосуде имеет место вакуум, равный разности атмосферного и абсолютного давлений:

Р_ВАК = Р_а – Р_А = 736 ^. 133, 3 - 39202 = 58907 Па = 59 КПа.

Примечание: тот же результат можно получить, выбрав в качестве поверхности равного давления свободную поверхность воды в сосуде или поверхность раздела воды и ртути.

Пример 1.1.12. Определить избыточное давление Р_О воздуха в напорном баке по показаниям батарейного ртутного манометра. Соединительные трубки заполнены водой. Отметки уровней даны в м. Какой высоты должен быть пьезометр для измерения этого давления?

Решение. Избыточное давление Р_О = Р_А – Р_а в баке уравновешивается давлением столбов ртути и воды в манометре.

Давления взаимно уравновешивающихся высот на участках изгиба манометра из рассмотрения исключаем. Суммируя (с учетом направления действия давления) показания манометра от открытого конца до уровня свободной поверхности, составим уравнение равновесия:

Р_О = r_РТ g (1, 8 – 0, 8) - r_В g (1, 6 – 0, 8) +r_РТ g (1, 6 – 0, 6) - r_В g (2, 6 – 0, 6) =

= r_РТ g (1, 8 – 0, 8 +1, 6 – 0, 6) - r_В g (1, 6 – 0, 8 + 2, 6 – 0, 6) =

=13600 ^. 9, 81 ^. 2 – 1000 ^. 9, 81 ^. 2.8 = 239364 Па = 0, 24 МПа

Из формулы (1.16) находим высоту столба воды, соответствующую избыточному давлению Р_О:

h_ИЗБ = Р_О / r_В g = 0, 24 ^.10⁶ / 1000^. 9, 81= 24, 5 м

Высота пьезометра выше на величину превышения свободной поверхности воды в баке над плоскостью с нулевой отметкой:

Н = h_ИЗБ + 2, 6 = 27, 1 м.

Пример 1.13. Определить толщину s стальной стенки бака диаметром D = 4 м для хранения нефти (r_Н = 900 кг/м³) при высоте слоя нефти Н = 5 м. Давление на поверхности нефти Р_О = 24, 5 ^. 10⁴ Па. Допустимое напряжение на растяжение материала стенки s = 140 МПа.

Решение. Расчетная толщина стенки круглого бака (без коэффициента запаса) определяется из условия сопротивления максимальному избыточному давлению. Атмосферное давление в баке не учитывается, так как оно компенсируется атмосферным давлением с внешней стороны бака.

Максимальное избыточное давление Р стенка испытывает у дна:

Р = Р_А – Р_а = Р_О + r_Н g Н - Р_а =

= 24, 5 ^. 10⁴ + 900 ^. 9, 81^. 5 – 10 ^. 10⁴ = 18, 91 ^. 10⁴ Па

Расчетная толщина стенки определяется по формуле:

Пример 1.1.14. Определить перепад давлений воды в вертикальном трубном кольце, если в точке А она нагревается до температуры t₁ = 95^оС, а в точке В остывает до t₂ = 70^оС. Расстояние между центрами нагревания и охлаждения h₁ = 12 м.

Решение. Перепад давлений обусловлен разностью гидростатических давлений столба горячей воды в левой трубе и остывшей воды в правой трубе.

Давления столбов воды высотой h₂ в левой и правой трубах взаимно уравновешиваются и в расчете не учитываются, так как температура воды в них и, соответственно, плотность, одинаковы. Аналогично исключаем из расчета давления в левом и правом стояках высотой h₃.

Тогда давление слева Р₁ = r_Г g h₁, давление справа Р₂ = r_О g h₁.

Перепад давлений составляет:

DР = Р₂ – Р₁ = r_О g h₁ - r_Г g h₁ = g h₁ (r_О - r_Г)

Принимаем по справочным данным (таблица 1) плотности воды при температуре t₁ = 95^оС и t₂ = 70^оС: r_Г = 962 кг/м³, r_О = 978 кг/м³

Находим разность давлений

DР = g h₁ (r₂ - r₁) = 9, 81 ^. 12 (978 –962) = 1882 Па.

Пример 1.1.15. а) Определить избыточное давление воды в трубе, если Р_МАН = 0, 025 МПа, Н₁ = 0, 5 м, Н₂ = 3 м.

б)Определить показания манометра при том же давлении в трубе, если вся трубка заполнена водой, Н₃ =5 м.

а)Решение. Избыточное давление в трубе уравновешено поверхностным давлением Р_О = Р_МАН в точке подключения манометра и системой столбов воды и воздуха в трубке. Давлением столбов воздуха можно пренебречь ввиду незначительности.

Составим уравнение равновесия с учетом направления давления столбов воды в трубке:

Р = Р_МАН + r_ВОД g Н₂ - r_ВОД g Н₁ =

= 0, 025 + 1000 ^. 9, 81^. 10^-6 (3 – 0, 5) = 0, 025 + 0, 025 = 0, 05 МПа

б) Решение. Уравнение равновесия для данного случая

Р = Р_МАН + r_ВОД g Н₃,

откуда Р_МАН = Р - r_ВОД g Н₃ = 0, 05 - 1000^. 9, 81^. 10^{-6 .} 5 = 0, 05 – 0, 05 = 0 МПа.