Экспериментальное определение функций распределения случайных величин.

ОБОРУДОВАНИЕ: генератор гармонических колебаний, частотомер типа Ч3-54 (Ч3-33), секундомер.

ЦЕЛИ РАБОТЫ: экспериментальное определение функций плотности вероятности случайных величин; оценка параметров распределений и влияния случайных факторов на результаты измерений в зависимости от числа измерений; определение условий, в которых наблюдаются нормальное и равномерное распределения.

Краткая теория.

Событием (случаем) в теории вероятности называют всякое явление, относительно которого имеет смысл ставить вопрос, может оно произойти или нет. Случайные величины могут иметь дискретный спектр значений (например, спектр из шести значений от 1 до 6 при бросании игрального кубика) и непрерывный спектр (определяемая в эксперименте скорость отдельной молекулы – непрерывная случайная величина). Вероятность случайного события характеризует количественную меру ожидаемой возможности его появления.

В случае дискретной случайной величины можно дать частотное определение вероятности W случайного события А:

, (1)

где N – число испытаний, N_A - число испытаний, в которых произошло событие А.

Очевидно, что задаваемая формулой (1) математическая вероятность может принимать значения от 0 (недостоверное событие) до 1 (достоверное событие).

Вычислить среднее значение дискретной случайной величины можно по формуле

, (2)

здесь n – число различных значений в спектре случайной величины (при бросании игрального кубика оно равно 6), W_i - вероятность выпадения при испытании i –го значения (x_i) в спектре случайной величины (например, вероятность выпадения двойки при бросании кубика, равная ).

Таким образом, чтобы вычислить среднее значение дискретной случайной величины, нужно знать спектр ее возможных значений и
вероятность каждого значения в спектре. Когда говорят, что дискретная случайная величина задана, то подразумевают, что владеют этой информацией.

В случае непрерывной случайной величины частотное определение вероятности не подходит. Например, в отношении скорости отдельной молекулы бессмысленно ставить вопрос о том, чему равна вероятность обнаружить в ходе измерения, что скорость молекулы будет равна 200 , ведь число возможных значений скорости бесконечно. Непрерывную случайную величину х описывают с помощью функции плотности вероятности , (3)

здесь dW(х) - вероятность того, что случайная величина в испытании примет значение в интервале dx вблизи данного значения случайной величины x.

Следовательно, функция плотности вероятности равна вероятности обнаружить случайную величину в малом интервале вблизи данного значения величины, отнесенной к величине интервала.

Вероятность попасть в малый интервал dx равна , а вероятность того, что при испытании случайная величина окажется в конечном интервале [ x₁; x₂ ]

. (4)

Проведя по формуле (4) вычисление вероятности по всей области определения случайной величины, мы получим вероятность достоверного события, состоящего в том, что в испытании будет зафиксировано какое-либо разрешенное значение случайной величины

(5)

Формулу (5) называют условием нормировки вероятности непрерывной случайной величины. Аналогичное условие для дискретной случайной величины получим, заменив интегрирование суммированием

(6)

здесь W_i – вероятность выпадения i– го значения в спектре случайной величины, n - число различных значений в спектре.

Вычислить среднее значение непрерывной случайной величины можно по формуле, аналогичной формуле (2):

(7)

т.е., для определения среднего значения непрерывной случайной величины нужно знать ее функцию плотности вероятности и область определения. Располагая этой информацией говорят, что непрерывная случайная величина задана. В формуле (7) на месте величины х под интегралом, вообще говоря, должна находиться усредняемая величина, роль которой может играть любая функция u(x) аргумента x. Следовательно, среднее значение функции случайной величины можно найти так

(7^/)

Разброс случайной величины относительно среднего значения характеризует дисперсия σ ² - средний квадрат отклонения величины от среднего значения

(8)

или, в случае дискретной величины,

(8^/)

На практике дисперсию удобно вычислять по формуле

(8^//).

Результаты непосредственных измерений физической величины часто описываются нормальным распределением (распределением Гаусса)

(9)

Еще один пример функции плотности вероятности - прямоугольное (равномерное) распределение, для которого

(10)

где β и γ – границы интервала величины, а

Графики нормального и равномерного распределений представлены на рис.1 и рис.2. Площади, заштрихованные на графиках, равны вероятности обнаружить при испытании значение случайной величины в интервале [ а, в ]. Полная площадь под кривой функции плотности вероятности согласно условию нормировки равна единице.

Рис.1 Нормальное распределение.

На практике число измерений N не бывает достаточным для того, чтобы по их результатам можно было вычислить истинное значение

Рис.2 Прямоугольное распределение.

измеряемой величины и дисперсию. Можно лишь найти выборочное среднее для серии из N и выборочную дисперсию δ σ по формулам:

Величину S_N – называют среднеквадратичным отклонением для серии N измерений, а - средним значением N измерений.

Перед тем, как окончательно записать результат N измерений, нужно определить его надежность, т.е. выяснить с какой вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины в данный доверительный интервал. Доверительным интервалом называют интервал, в котором находится с заданной вероятностью истинное значение измеренной величины. Под абсолютной ошибкой ε в теории обычно понимают величину t_{W, N} S_N, где t_{W, N} - коэффициент Стьюдента, значение которого зависит от вероятности попадания измеренной величины в доверительный интервал и от проведенного числа измерений. Значения коэффициента Стьюдента приведены в таблице 1. Таким образом, результат представляется в виде:

(15)

причем эта запись не означает, что истинное значение измеренной величины лежит в интервале от до а лишь указывает на то, что истинное значение попадает в этот интервал с вероятностью W.

В ходе лабораторной работы необходимо определить вид функции плотности вероятности, описывающей распределение измеренной в эксперименте случайной величины, и выяснить условия эксперимента, в которых наблюдаются нормальное и прямоугольное распределения.

Подготовка к работе.

1. Заземлите приборы.

2. Соедините кабелем выход генератора сигналов с входом «СУММА А» частотомера.

3. Включите приборы тумблером «СЕТЬ».

4. Установите переключатель «РОД РАБОТЫ» в положение «СУММА А».

5. Установите выходную частоту генератора 50-60 Гц.

6. «ПУСК» и «СТОП» осуществляйте клавишей «ПАМЯТЬ». «СБРОС» - соответствующей клавишей на частотомере.

Упражнение 1.

(нормальное распределение)

1. При помощи секундомера сделайте 50-60 отсчетов числа импульсов, проходящих через пересчетное устройство частотомера за 5 сек и вычислите ν с точностью до 0.1 имп/сек для каждого отсчета, ν – число импульсов в секунду. Число отсчетов должно нацело делиться на 3.

2. Вычислите среднее значение и среднеквадратичное отклонение S_N по формулам (12) и (13) и интервал для надежности W=0.6 пользуясь таблицей 1.

3. Для определения вида распределения разбейте весь диапазон из N опытных значений ν на интервалы Δ ν (в данном случае Δ ν =0.5с^-1). Подсчитайте, какое количество N_i значений попадает в каждый интервал, и вычислите относительную частоту, приходящуюся на единичный интервал. Для этого составьте таблицу:

интервалы от до	Количество импульсов в интервале	Ni
47 - 47.5 47.51 - 48 48.01 – 48.5	| | | | | | | | | | | | | |		3/51 5/51 6/51	0.12 0.2 0.24

(Цифры в таблице приведены для случая N=51)

4. Построить на миллиметровой бумаге диаграмму распределения плотности вероятности в зависимости от ν, откладывая по оси абсцисс значения ν и Δ ν, по оси ординат h_i. Диаграмма будет представлять систему прямоугольников высотой h_i с основаниями Δ ν (площади которых численно равны доле отсчетов в соответствующем интервале), а площадь всех прямоугольников равна единице. Построенная таким образом диаграмма называется гистограммой.

5. На том же графике и в том же масштабе построить кривую плотности вероятности по уравнению (9), заменив и σ ² их оценками . Вычислить координаты для абсцисс равных и .

6. Разбейте полученные ν _i -на тройки. Вычислите средние значения, средние квадратичные ошибки, доверительные интервалы для W=0.6 для каждых трех значений (если N=51, то для 17 троек).

7. Нанести для сравнения все средние значения и интервалы на отдельный график в том же масштабе для ν и вычислить, какой процент значений попадает в интервал общего среднего и какой процент интервалов перекрывается с интервалом общего среднего. Оформление результатов упражнения должно быть представлено в виде, данном на рис.3.

Рис.3.

Упражнение 2.

1. На генераторе сигналов установите переключатель «МНОЖИТЕЛЬ» в положение 10². В качестве измеряемой величины используйте последнюю значащую цифру на экране частотомера. Повторите опыт 100 раз.

2. Определите среднее значение и дисперсию.

3. Постройте гистограмму, как и в упражнении 1. В зависимости от вида гистограммы решите вопрос о том, нормальное или прямоугольное распределение плотности вероятности.

Вопросы, которые должны быть рассмотрены при подготовке к сдаче допуска к работе.

1. Основные понятия теории вероятностей. Функция плотности вероятности.

2. В каком случае считают, что дискретная (непрерывная) случайная величина задана?

3. Вычисление средних значений случайных величин. Дисперсия.

4. Прямоугольное и нормальное распределения

Вопросы, которые следует рассмотреть при подготовке к сдаче отчета по работе.

1. При выполнении, каких условий результаты измерений описываtтся нормальным и прямоугольным распределением?

2. Биномиальное распределение, его предельные формы.

3. Распределение Максвелла, его различные формы.

4. Распределение Больцмана.

5. Вывести формулу (2) и формулу (8^//).

Литература.

1. Кондрашов А.П., Шестопалов Е.В. «Основы физического эксперимента и математическая обработка результатов измерений». М., 1977 г.

2. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. «Элементарное введение в теорию вероятностей». М., 1976 г.

3. Вентцель Е.С. «Теория вероятностей». М., 1964 г.

4. Матвеев А.Н. «Молекулярная физика». М., ВШ., 1981 г.

Таблица 1.

КОЭФФИЦИЕНТЫ СТЬЮДЕНТА t_{W, N}.