Термодинамическая теория возмущений

При конкретном вычислении термодинамических величин бывают случаи, когда энергия тела содержит относи­тельно малые члены, которыми можно в исходном приближении пренебречь. Роль таких малых членов может играть, например, потенциальная энергия частиц тела во внешнем поле (об услови­ях, позволяющих считать какие-либо члены малыми, см. ниже).

В этих случаях допустима своего рода теория возмущений для вычисления термодинамических величин. Покажем сначала, как это должно быть сделано в случае при­менимости классического распределения Гиббса.

Напишем энергию в виде

(4.1)

где изображает собой малые члены. Для вычисления свобод­ной энергии тела пишем:

, (4.2)

причем в разложении по степеням здесь и ниже мы ограни­чиваемся членами второго порядка, имея в виду вычислить по­правки лишь первого и второго приближений. Логарифмируя и снова разлагая в ряд, с той же точностью имеем

где обозначает “невозмущенную” свободную энергию, вычи­сленную при

Получившиеся интегралы представляют собой средние зна­чения соответствующих величин, вычисленные с помощью “не­возмущенного” распределения Гиббса. Понимая усреднение в этом смысле и замечая, что , пишем окон­чательно:

(4.3)

Таким образом, поправка первого приближения к свободной энергии равна просто среднему значению возмущающей энер­гии V. Поправка же второго приближения всегда отрицатель­на и определяется средним квадратом отклонения V от своего среднего значения. В частности, если среднее значение обра­щается в нуль, то в результате возмущения свободная энергия уменьшается.

Сравнение члена второго порядка с членом первого порядка в (4.3) позволяет выяснить условие применимости изложенно­го метода возмущений. При этом надо иметь в виду, что как среднее значение V, так и средний квадрат оба, гру­бо говоря, пропорциональны числу частиц. Поэтому можно сформулировать искомое условие как требование малости отнесенной к одной частице энергии возмущения по сравнению с .

Произведем теперь аналогичные вычисления для квантового случая. Вместо (4.1) здесь надо писать аналогичное выражение для гамильтониана

Согласно квантовой теории возмущений уровни энергии возмущенной системы, с точностью до поправок вто­рого приближения, определяются выражением

(4.4)

где невозмущенные уровни энергии (по предположе­нию — невырожденные); штрих у знака суммы означает, что должен быть опущен член с . Это выражение надо под­ставить в формулу

и произвести такое же разложение, какое было произведено вы­ше. Простое вычисление приводит к следующему результату:

(4.5)

где невозмущенное распределение Гиббса.

Диагональный матричный элемент есть не что иное, как среднее значение возмущающей энергии V в данном кван­товом состоянии. Поэтому сумма

есть полностью усредненное значение усредненное как по квантовому состоянию тела, так и по (невозмущенному) стати­стическому распределению по различным квантовым состояни­ям. Этим значением определяется поправка первого приближе­ния к свободной энергии — результат, формально совпадающий с полученным выше классическим.

Формулу (4.5) можно переписать в виде

(4.6)

Все члены второго порядка в этом выражении отрицательны (поскольку имеет тот же знак, что и ). Таким образом, поправка второго приближения к свободной энергии отрицательна и в квантовом случае.

Как и в классическом случае, условие применимости этого метода заключается в малости энергии возмущения (отнесенной к одной частице) по сравнению с . Между тем условие при­менимости обычной квантовомеханической теории возмущений (дающей выражение (4.4) для )заключается, как известно, в малости матричных элементов возмущения по сравнению с раз­ностями соответствующих уровней энергии; грубо говоря, энер­гия возмущения должна быть мала по сравнению с разностями тех уровней энергии, между которыми в основном возможны переходы.

Эти два условия отнюдь не совпадают друг с другом — тем­пература не имеет никакого отношения к уровням энергии тела. Может оказаться, что энергия возмущения мала по сравнению с , но в то же время не мала или даже велика по сравнению с существенными разностями уровней энергии. В таких случа­ях “теория возмущений” для термодинамических величин (т.е. формула (4.6)) будет применима, между тем как теория воз­мущений для самих уровней энергии (т.е. формула (4.4)) ока­зывается неприменимой; другими словами, пределы сходимости разложения, представляемого формулой (4.6), могут оказаться шире, чем пределы сходимости разложения (4.4), из которого оно было выведено.

Возможны, конечно, и обратные случаи (при достаточно низких температурах).

Формула (4.6) значительно упрощается, если не только энергия возмущения, но и разности уровней энергии малы по сравнению с Т. Разлагая разность в (4.6) по степе­ням , найдем в этом случае

Но по правилу умножения матриц имеем

и мы получаем выражение, формально полностью совпадающее с формулой (4.3). Таким образом, в этом случае квантовомеханическая формула формально переходит в классическую.