Обозначения Суждения

«Некоторые x суть y'», т. е. «Некоторые вкусные (булочки) черствые».

«Ни один y не есть x», т. е. «Ни одна вкусная (булочка) не свежая». Обратите внимание, что то же самое можно сказать иначе: «Ни одна свежая булочка не вкусная».

«Ни один y не есть x», т. е. «Ни одна вкусная булочка не черствая».

«Некоторые y суть x, и некоторые y суть x'», т. е. «Некоторые вкусные (булочки) свежие, и некоторые — не свежие».

«Ни один y не есть x, и ни один y' не есть x», т. е. «Ни один y не существует», или «Вкусных булочек нет».

«Все y суть x», т. е. «Все вкусные булочки свежие».

«Все y суть x'», т. е. «Все вкусные булочки не свежие».

Мне кажется, что мы уже сказали все необходимое о малой диаграмме и можем переходить к большой.

Ее можно представлять себе в виде подноса, расчерченного так же, как мы расчерчивали подносы до сих пор, который, кроме того, разделен на две части (для признака m).

Условимся считать, что m означает «полезный». Предположим, что все полезные булочки сложены внутри центрального квадрата, а все не полезные (вредные для здоровья) — вне его, т. е. в какой‑ то из четырех внешних причудливо изогнутых клеток.

При рассмотрении малой диаграммы булочки, находившиеся в каждой из ее клеток, обладали двумя признаками. Теперь же булочки в любой из клеток обладают тремя признаками. Буквы, обозначавшие два признака, мы ставили на границе, отделяющей одну клетку от другой. Теперь же мы будем ставить их у вершин клеток. (Обратите внимание на то, что внешние вершины четырех наружных клеток считаются помеченными буквой m.) Взглянув на любую клетку, мы можем тотчас же сказать, какими тремя признаками обладают находящиеся в ней предметы. Возьмем, например, клетку 12. В ее вершинах стоят буквы x, y', m, поэтому мы знаем, что находящиеся в ней булочки (если таковые существуют) обладают тройным признаком xy'm, т. е. «свежие, невкусные и полезные». Рассмотрим теперь клетку 16. В ее вершинах стоят буквы x', y', m. Следовательно, находящиеся в ней булочки «несвежие, невкусные и не полезные».

Перебор всех суждений, содержащих x и y, x и m, y и m, которые можно представить на большой диаграмме, занял бы слишком много времени, и я ограничусь тем, что рассмотрю лишь два или три суждения в качестве примера (думаю, что вы не станете сердиться на меня за это, когда узнаете, что всего таких суждений 96). Но вы поступите очень хорошо, если изучите гораздо больше случаев.

Рассмотрим отдельно верхнюю половину большой диаграммы, иначе говоря, суждения с субъектом «свежие булочки». Как изобразить на ней суждение «Ни одна свежая булочка не полезная»?

В буквенных обозначениях интересующее нас суждение имеет вид: «Ни один x не есть m». Записанное так, оно говорит нам, что ни одна из булочек, находящаяся на верхней половине подноса (т. е. большой диаграммы), не лежит внутри центрального квадрата. Другими словами, клетки 11 и 12 пусты. На диаграмме такая ситуация изображается так

А как выглядит противоположное суждение «Некоторые x суть m»? Эту трудность мы уже обсуждали. Лучший способ разрешить ее состоит, как мне кажется, в следующем. Нужно поставить красную фишку на линию, отделяющую клетку 11 от клетки 12, и считать что это означает: «Одна из клеток (11 и 12) «занята», но какая именно, пока еще не известно». На диаграмме эту ситуацию я обозначу так

Изобразим на диаграмме суждение «Все x суть m». Как мы уже знаем, оно состоит из двух суждений

«Некоторые x суть m»

и

«Ни один x не есть не m».

Начнем с отрицательного суждения. Оно говорит нам, что ни одна из булочек, находящихся на верхней половине подноса, не должна лежать вне центрального квадрата, т.е. что клетки 9 и 10 пустые. Ясно, что на диаграмме это выглядит так

Но мы должны еще нанести на диаграмму суждение «Некоторые x суть m». Оно говорит нам, что некоторые булочки находятся в горизонтальном ряду, состоящему из клеток 11 и 12. Поэтому, как и в предыдущем примере, мы поставим красную фишку на границу, отделяющую клетку 11 от клетки 12, и в результате получим

Попытаемся теперь перевести одну или две диаграммы на обычный язык.

Что можно сказать относительно x и y, глядя на диаграмму

Прежде всего мы видим, что квадрат xy' полностью пуст: и клетка 12, и «уголок» 10 помечены нулями. Относительно квадрата xy диаграмма говорит нам, что он занят. Правда, помечена единицей в нем лишь клетка 11, но и этого вполне достаточно, чтобы утверждать (независимо от того, пуст или занят «уголок» 9), что в квадрате xy что‑ то есть.

Если мы захотим избавиться от признака m и перейдем к меньшей диаграмме, то в ее клетках нуль и единица будут расставлены так

что, как известно, означает «Все x суть y».

Точно к такому же результату мы бы пришли, если бы верхняя половина большой диаграммы имела вид

А что можно сказать относительно x и y, глядя на диаграмму

Прежде всего, что одна из частей квадрата xy — его «уголок» — пуста. Но эта информация совершенно бесполезна, поскольку в другой его части — клетке 11 — не стоит ничего. Если эта клетка окажется пустой, то и весь квадрат xy будет пуст. Если же клетка 11 окажется занятой, то и квадрат xy будет занят. Итак, поскольку нам неизвестно, какая фишка стоит в клетке 11 — красная или черная, — мы ничего не можем сказать и относительно квадрата xy.

Зато о другом квадрате — xy' — мы можем с уверенностью утверждать, что он (как и в предыдущем примере) занят.

Перенеся разметку на меньшую диаграмму, получим

что означает «Некоторые x суть y'».

Те же принципы применимы и ко всем другим половинкам большой диаграммы — вертикальным и горизонтальным. Например, чтобы представить на большой диаграмме суждение «Все y' суть m'», необходимо взять ее правую вертикальную половину (ту, которая отвечает признаку y') и разметить ее следующим образом

Если же мы захотим узнать, какое суждение (относительно x и y) содержится в нижней половине большой диаграммы, на которой нули и единицы расставлены так

то, преобразовав ее в малую диаграмму

мы без труда «расшифруем» скрытое в ней суждение: «Все x' суть y».

Относительно суждений необходимо сделать еще два замечания.

Во‑ первых, в каждом суждении, начинающемся со слов «некоторые» или «все», утверждается, что субъект суждения существует в действительности. Например, если я говорю: «Все скупые люди эгоистичны», то я подразумеваю что скупые люди существуют в действительности. Если бы я хотел избежать такого утверждения или только сформулировать правило, согласно которому скупость с необходимостью влечет за собой эгоизм, то я выразился бы иначе: «Ни один скупой человек не есть неэгоист». Это суждение не утверждает, что скупые люди вообще существуют. В нем лишь говорится, что если бы скупые люди существовали, то они были бы эгоистами.

Во‑ вторых, если суждение начинается со слов «некоторые» или «ни один» и содержит более двух признаков, то эти признаки можно произвольно переставлять и относить к любому из терминов суждения.

Например, суждение «некоторые abc суть def» можно преобразовать в суждение «Некоторые bf суть acde», причем каждое из суждений (и исходное, и преобразованное) эквивалентно суждению «Некоторые предметы суть abcdef».

Еще пример. Суждение «Ни один мудрый пожилой человек не является опрометчивым и безрассудным игроком» можно преобразовать так: «Ни один опрометчивый пожилой игрок не является мудрым и безрассудным (человеком)». Оба суждения эквивалентны следующему: «Ни один человек не является мудрым, пожилым, опрометчивым и безрассудным игроком».