Контрольной работы №2 по линейной алгебре, модуль 2

ПРОЕКТ

Специализация «Мировая экономика»

1. Докажите линейность оператора , если . Составьте его матрицу в данном базисе. Имеет ли оператор обратный? Если да, то укажите его матрицу и запишите координаты .

2. Составьте матрицу линейного оператора проецирования геометрических векторов из на плоскость в базисе и найдите базисы образа и ядра этого оператора.

3. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей

.

Найдите образ, ядро, ранг и дефект оператора.

4. Найдите матрицу линейного отображения, переводящего векторы , , в векторы , ,

5. Найдите матрицу перехода от базиса к базису в пространстве и определите координаты вектора в базисе , если

6. В некотором базисе задана матрица линейного оператора . Найдите матрицу этого оператора в базисе

; .

7. Найдите базис из собственных векторов линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей А, запишите матрицу этого оператора в найденном базисе, если

8. В евклидовом пространстве задано подпространство Н как линейная оболочка векторов , t wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" RU" /> < /w: rPr> < m: t>.< /m: t> < /m: r> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> Найдите базис орногонального дополнения . Для вектора найдите его ортогональную проекцию на подпространство Н и ортогональную составляющую относительно Н.

9. В евклидовом пространстве даны векторы , , . Найдите матрицу Грама этой системы векторов и с ее помощью докажите, что векторы образуют базис в . Вычислите скалярное произведение векторов , двумя способами: через их координаты в стандартном базисе и в базисе с помощью матрицы Грама.

10. Матрица Грама в базисе имеет вид . Найдите длины векторов , и угол между ними. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах и объем пирамиды с треугольным основанием, построенной на векторах .

11. Найдите вектор, параллельный линии пересечения двух плоскостей, первая из которых проходит через точки , , , а вторая является координатной плоскостью .

12. Плоскость содержит ось и точку Прямая проходит через точки и Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости. Чему равен угол между прямой и плоскостью?