Определение матрицы линейного оператора

Пусть в линейном пространстве над полем задан базис

(4.8)

и пусть – линейный оператор (читается так: в себя). Построим систему векторов

(). (4.9)

Каждый из векторов системы (4.9) можно разложить по базису (4.8):

(4.10)

Сокращенно система (4.10) записывается одним равенством:

. (4.11)

Расположим числа в матрицу А по нашей договоренности: верхний индекс обозначает номер строки, а нижний – номер столбца:

Заметим, что столбцы полученной матрицы А являются координатными столбцами образов векторов базиса (4.8) в том же базисе. Обозначим

[ ] = .

Равенство (4.11) можно переписать и так: , откуда, руководствуясь правилом цепочки, (4.11) записываем в матричном виде:

. (4.12)

Матрицей линейного оператора в некотором базисе называется матрица А, столбцами которой являются координатные столбцы образов базисных векторов в том же базисе. Это матрица , элементы которой удовлетворяют системе равенств (4.10) или (4.11), а сама матрица удовлетворяет матричному равенству (4.12).