Решение. а) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 4: = = = .

а) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 4: = = = .

б) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = ¥: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку и в числителе и в знаменателе дроби имеем многочлены, а предел находится при х ® ¥, то в каждом из этих многочленов оставляем член с х в максимальной степени: = = = 2.

в) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку и в числителе и в знаменателе дроби имеем многочлены, а предел находится при х ® 0, то в каждом из этих многочленов оставляем член с х в минимальной степени: = = = – 3.

г) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 2: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку и в числителе и в знаменателе дроби многочлены, а предел находится при х ® 2, то в этих многочленах выделяем бесконечную малую (х – 2): корнями многочлена числителя являются х ₁ = 2, х ₂ = 1/2, поэтому = = = = 3/4.

д) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку в числителе разность корней, то переносим иррациональность в знаменатель, умножив и числитель, и знаменатель на соответствующую сумму корней: = = = = = .

е) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентными малыми. Поскольку в окрестности точки х = 0: 1 – cos α (х) ~ a²(х)/2, tg α (х) ~ α (х), arcsin α (х) ~ α (х), то 1 – cos х ~ х ²/2, сtg 3 х ²= 1/tg 3 x ² ~ 1/(3 х ²), arcsin³ х ~ х ³.

Получаем: = = = 1/6.

ж) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентными малыми. Поскольку в окрестности точки х = 0: 1 – cos α (х) ~ a²(х)/2, то в окрестности этой точке справедливо приблизительное равенство cos α (х) ≈ 1 – a²(х)/2, и, следовательно, cos 2 x – cos x ≈ (1 – 4 x ²/2) – (1 – x ²/2) = 3 x ²/2; поскольку arc tg α (х) ~ α (х), то arc tg² 3 х ~ (3 х)² = 9 х ²; поскольку sin α (х) ~ α (х), то sin² 2 х ~ (2 х)² = 4 х ².

Получаем: = = = 0, 3.

з) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 2: за знаком предела получаем неопределенность (1^∞ ). Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулу, получаемую как следствие 2-го замечательного предела: у (х) = u (x)^{β ( x )} = (1^∞ ) = exp[ (β (x)·(u (x) – 1))]. Имеем: х ₀ = 2; u (x) = ; b(x) = . Следовательно, = exp[ ( × ( – 1))].

Находим ( × ( – 1)) = ( × ) = × = = 4, 5 = 4, 5. Т.о., = e^{4, 5}.

и) Найти предел числовой последовательно , используя возможность перехода к непрерывному аргументу: = . Поскольку для предела отношения многочленов при х ® ¥ получаем = =1, то для исходного предела имеем неопределенность (1^∞ ), поэтому для раскрытия этой неопределенности воспользуемся формулой, получаемой как следствие 2-го замечательного предела: у (х) = u (x)^{β ( x )} = (1^∞ ) = exp[ (β (x)·(u (x) – 1))]. Имеем: х ₀ = + ¥; u (x) = ; b(x) = 3 х ² + 2. Следовательно, = exp[ ((3 х ² + 2)× ( – 1))].

Находим ((3 х ² + 2)× ( – 1)) = ((3 х ² + 2)× ) = × = = (–21) = – 21. Следовательно, = = е ^{– 21}.

Ответ: а) 2/9; б) 2; в) – 3; г) 3/4; д) 1/(); е) 1/6; ж) 0, 3; з) e^{4, 5}; и) е ^{– 21}.