Теоретическое описание реакций с нейтронами.

Ядерные реакции классифицируют по времени протекания. В качестве временного масштаба удобно использовать ядерное время – время пролета частицы через ядро:

R – радиус ядра.

τ _я – минимальное время протекания ядерной реакции (τ _я≈ 10^-22 с для нуклона с T_N=25 МэВ и ядра с A = 25, а также для нуклона с T_N=100 МэВ и ядра с A=200).

По времени протекания ядерные реакции классифицируют:

1. Прямая реакция – если время реакции t_p≈ τ _я (время реакции минимально).

2. Реакция через составное ядро - t_p> > τ _я

Составное ядро и прямой механизм полярны. Существует много реакций промежуточного типа.

В случае прямой реакции частица a передает энергию одному или нескольким нуклонам и они сразу покидают ядро, не успев обменяться энергией с остальными нуклонами.

Одним из характерных явлений, имеющих место при взаимодействии нейтронов с ядрами, является ядерный резонанс. Нейтронные резонансы проявляются экспериментально как резкое возрастание сечения ядра-мишени при дискретных энергиях падающих нейтронов. Увеличенная вероятность взаимодействия предполагается обусловленной существованием соответствующего энергетического уровня в составном ядре(не -мишени). В качестве примера на рисунке 4 (поглощение нейтронов серебром) показано пропускание нейтронов для образца серебра в области медленных нейтронов с резонансным уровнем 5, 2 эв. Этот резонанс является преимущественно резонансом поглощения, однако резонансы встречаются также при упругом рассеянии.

Реакция через составное ядро - интерпретация резонансной ядерной реакции, предложенная Бором в 1936 г. Согласно Бору, ядерная реакция протекает в два этапа. На первом (быстром) этапе нейтрон проникает в ядро и захватывается им, образуя составную систему (иначе составное, промежуточное, компаунд ядро) с энергией возбуждения

и определенными значениями момента количества движения, четности и др.

Из-за сильного взаимодействия энергия возбуждения быстро распределяется между всеми нуклонами ядра, в результате чего каждый из них будет иметь энергию, гораздо меньшую энергии связи, и в течении длительного времени не сможет вылететь из ядра, пока на одном нуклоне, находящимся вблизи от границы ядра, снова не сконцентрируется энергия, превосходящая энергию связи. Другой возможный способ распада составной системы – испускание γ -кванта, также происходит сравнительно медленно. Этим и объясняется большое время жизни составной системы, причем это время настолько велико, что система как бы «забывает» способ своего образования. Параметры промежуточного ядра (энергия, момент и четность) не зависят от вида реакции, в которой образуется промежуточное ядро.

По прошествии достаточно длительного времени τ (время жизни промежуточного ядра) наступает второй этап ядерной реакции – распад промежуточного ядра, сопровождающийся либо вылетом нуклона, либо испусканием γ -кванта (в общем случае и другими процессами).

Вероятность распада промежуточного ядра ω = 1/τ = Г/ħ. Ядро может распадаться различными путями: γ -излучение, испускание нейтрона, протона и др. Поэтому вероятность распада можно представить в виде суммы парциальных вероятностей, каждая из которых характеризует один из путей распада:

ω = ω _γ + ω _n + ω _p + …= Г_γ /ħ + Г_n/ħ + Г_p/ħ + …

Относительная вероятность распада составного ядра по данному каналу, очевидно, равна

η _i = ω _i/ ω = Г_i/Г

где Г_i – парциальная ширина (Г_γ – радиационная, Г_n – нейтронная и т.д.). Согласно теории Бора, относительные вероятности распада составного ядра не зависят от способа его образования. Это заключение подтверждается экспериментально при сравнении способов распада одинаковых составных ядер (с теми же A, Z, E, I, T и P), полученных в различных ядерных реакциях.

Если энергия вновь образованного уровня составного ядра является недостаточной для испускания частицы, то его называют связанным уровнем. Избыток энергии связанного уровня выделяется с помощью испускания γ -излучения. Если нейтрон поглощается, то процесс называется радиационным захватом и обозначается (n, γ). Распад с испусканием частицы приводит к основному состоянию уже другого ядра.

Энергетическое состояние составного ядра, образованного при взаимодействии нейтрона со стабильным ядром, в статистической модели должно иметь конечное время жизни. Составное ядро живет достаточно долго, с тем чтобы иметь возможность распределить только что приобретенную энергию среди компонент ядра, прежде чем испустить γ -кванты или частицы в процессе снятия возбуждения. Принцип неопределенности Гейзенберга, который основан на волновых свойствах материи, требует, чтобы неопределенность Δ E в энергии Е-состояния удовлетворяла соотношению

Δ E = ħ /Δ t (14),

Где Δ t – время жизни состояния; ħ – постоянная Планка; Δ E – ширина уровня, обозначаемая обычно Г. Величина Г имеет большое значение при рассмотрении волнового уравнения для энергетического уровня.

с полной энергией, выраженной комплексной величиной: E – iГ/2. Следовательно, вероятность существования уровня в течении времени t пропорциональна e^-Гtħ и Г/ ħ – вероятность распада уровня в единицу времени. Поскольку Г/ ħ равно 1/τ, где τ – среднее время жизни уровня, то можно записать, если τ измерено в секундах

Г =

Отсюда видно, что уровень с большим временем жизни будет иметь строго определенную энергию. Когда энергия возбуждения увеличивается, то среднее время жизни уровня уменьшается, а уровни уширяются и начинают перекрываться до такой степени, что не будет существовать уже дискретных уровней, т.е. величина Г превышает среднее расстояние между уровнями D.

Одна из ранних теорий, основанная на квантовой механике, о резонансных эффектах в ядре, была развита Брейтом и Вигнером. Будем следовать предположению Бора о разделении взаимодействия на две части: на образование составного ядра и на эмиссию энергии в форме частицы или γ -квантов. Обозначая испускаемую частицу а, получаем сечение σ (n, a) для взаимодействия с нейтроном:

,

где σ _с – сечение образования составного ядра; Г_а – парциальная ширина уровня для эмиссии частицы а; Г – полная ширина уровня.

Теория Брейта-Вигнера для отдельного изолированного уровня дает следующее значение сечения образования составного ядра:

(15)

так что

(16)

где k – волновое число падающего нейтрона (), g – статистический вес, E – кинетическая энергия нейтрона и E₀ – энергия возбуждения резонансного уровня. Уравнение (16) является хорошо известной формулой для одного уровня, в которой предполагается, что этот уровень не подвержен влиянию других уровней.

В формулах (15, 16) g – статистический вес, который выражает вероятность того, что нейтрон со спином канала j, где j = l±1/2, и ядро-мишень со спином I будут ориентироваться соответственно тому, чтобы дать J для полного углового момента рассматриваемого уровня составного ядра. Это можно выразить как

(17)

Поскольку для медленных нейтронов l = 0, j =I±1/2 переходит в j=1/2 и J=I±1/2, так что g₀ ≈ 1/2 для больших I и g₀ = 1 для I = 0.

Однако процесс рассеяния предполагается состоящим из двух частей: чисто резонансного рассеяния с образованием составного ядра и потенциального рассеяния, при котором нейтрон не проникает в ядро, а отражается от его поверхности. Вероятность медленному нейтрону проникнуть в ядро много меньше единицы. Взаимодействие обусловливается главным образом величиной длины волны медленных нейтронов. Потенциальное рассеяние можно записать как

(18)

где ϕ _l – фазовое смещение рассеянной парциальной волны с орбитальным моментом l. Вследствие того, что радиус R ядра в виде сферы много меньше, чем λ для медленных нейтронов и ξ ₀=kR с ξ _l для l> 0 много меньше ξ ₀, уравнение (19) становится приблизительно равным

Резонансное и потенциальное рассеяния являются когерентными и интерферируют.

-------

Взаимодействие нейтронов с ядром характеризуется орбитальным моментом l = 0, 1, 2, 3 и т.д. Полный момент резонанса является суммой трёх векторов:

где - спин ядра-мишени, - спин нейтрона, и - орбитальный момент.

Чётность резонанса определяется чётностью ядра-мишени и орбитальным моментом: .

Зависимость сечений от энергии носит резонансный характер. Сечение реакции вблизи отдельного резонанса описывается формулой Брейта-Вигнера:

k - волновое число нейтрона, g - статистический вес (), E₀ - энергия резонанса, Γ _n - нейтронная ширина и Γ _r - ширина, соответствующая определённому каналу реакции r. Полная ширина резонанса равна сумме ширин всех каналов.

Кроме резонансного взаимодействия можно выделить потенциальное рассеяние, слабо зависящее от энергии. Фаза потенциального рассеяния равна ϕ =–kR, где радиус ядра R = R₀A^1/3.

Более строгое описание требует введения комплексных амплитуд. Амплитуда рассеяния складывается из амплитуды потенциального рассеяния и резонансной амплитуды. Сечение рассеяния пропорционально квадрату амплитуды рассеяния. Для упругого рассеяния характерно явление интерференции потенциального и резонансного рассеяния.

Строгое описание взаимодействия нейтронов с ядрами получено в рамках R-матричной теории, в основе которой лежит предположение о том, что взаимодействие равно нулю при расстояниях больших радиуса ядра. Из теории следует, что нейтронная ширина резонанса равна:

,

где P_l - проницаемость, зависящая от орбитального момента и γ ²-приведённая ширина.

Используя переменную энергии в единицах ширины резонанса в одноуровневом приближении можно написать выражения для сечения реакции и сечения упругого рассеяния:

Здесь

Член с x∙ sin2ϕ описывает интерференцию потенциального и резонансного рассеяния. Легко видеть, что он меняет знак при переходе через резонанс, что приводит к характерному минимуму в сечении. На рис. показана асимметрия при рассеянии медленных нейтронов около резонансного уровня. Значение сечения рассеяния σ _s проходит через минимум при энергии Е_мин, меньшей, чем Е₀.

Для вычисления полного сечения нужно сложить сечения для всех возможных спиновых моментов.

Нейтронная ширина резонанса зависит от энергии, хотя в большинстве случаев (для узких резонансов) этим можно пренебречь. Часто сечение захвата при малых энергиях определяется низколежащим резонансом. Из R-матричной теории следует закон 1/v.

Нужно отметить, что, согласно R-матричной теории, нейтронные ширины p-, d- резонансов (с l = 1, 2 и т. д) много меньше, чем ширины s-резонансов, что согласуется с экспериментом.

Более подробное теоретическое описание реакций, вызванных нейтронами, а также формулы для угловых распределений продуктов реакции можно найти в книге А.А. Лукъянова [2].