Пенсионное страхование

1) План без возврата взносов.

Пенсионный план без возврата взносов представляет собой классическую пожизненную ренту пренумерандо, отложенную до наступления пенсионного возраста р. Пусть х – возраст застрахованного. Тогда стоимость договора страхования пенсии на момент заключения договора определяется по формуле:

,

где d=p-x – время отсрочки выплат. Отсюда величина ежегодных страховых нетто-взносов, уплачиваемых в течение m лет с момента заключения договора:

,

где - годовой коэффициент рассрочки. Если выжидательный период (период от последнего взноса до первой выплаты) отсутствует, то m=d и в знаменателе последней формулы величину x+m следует заменить на p.

Если пенсионные выплаты осуществляются пожизненно q раз в год в размере 1/q начиная с возраста р, а страховые взносы уплачиваются r раз в год, то годовая сумма взносов будет определяться по формуле:

.

2) План с возвратом взносов в случае смерти застрахованного лица в допенсионном возрасте.

В этом случае формируется дополнительный фонд для возврата средств, так как расчет взносов (премий) в предыдущем случае предусматривал распределение средств, внесенных в пенсионный фонд всеми участниками страхования, между дожившими до очередной выплаты.

Для простоты расчетов будем считать, что выжидательный период отсутствует, то есть взносы уплачиваются вплоть до достижения пенсионного возраста m=d=р-х. Если возврат уплаченных до момента смерти взносов осуществляется в конце страхового года, текущая стоимость этого фонда на момент заключения договора определяется как стоимость страхования жизни на срок с возрастающей страховой суммой:

,

где - искомая величина ежегодно уплачиваемых взносов по данному виду страхования пенсии.

Страхование с возрастающей суммой.

Данный вид страхования является разновидностью страхования жизни и может быть как пожизненным, так и на срок. Пусть каждый последующий год страховая выплата увеличивается на единицу по сравнению с единицей страховой суммой первого года.

Найдем стоимость полиса пожизненного страхования. Стоимость выплат при начальной сумме S=1, приведенная на начальный момент времени, будет равна в 1-ый год – ; во 2-ой год – ; в 3-ий год – и т.д. Следовательно, величина единовременного взноса исчисляется по формуле: .

Тогда величина единовременного взноса для ежегодной единичной пенсии определяется из условия равенства текущих стоимостей взносов и выплат:

и равна .

Практически во всех схемах пенсионного страхования предусмотрена такая защита уплаченных взносов.

3) План с дополнительными выплатами в случае смерти в пенсионном возрасте.

Большинству страхователей представляется несправедливым то обстоятельство, что если смерть застрахованного наступает за день до первой пенсионной выплаты, возвращается вся сумма уплаченных взносов, а если день спустя, то выдается только первая пенсионная выплата. Существует много схем для защиты взносов в случае смерти страхователя в пенсионном возрасте, они действуют ограниченное время и в ограниченном размере.

В качестве примера рассмотрим схему, согласно которой в случае смерти страхователя в первые k лет после начала выплат пенсии страховщик производит страховую выплату в размере k годичных пенсий. Данный фонд по способу формирования соответствует фонду, формируемому по страхованию жизни сроком на k лет, отложенному до наступления пенсионного возраста, то есть на р-х лет: .

Тогда величина ежегодно уплачиваемого взноса с учетом всех средств защиты накопленных взносов определяется из условия равенства текущей стоимости страховой премии и текущей стоимости суммарного фонда, обеспечивающего все возможные выплаты:

,

откуда

.

Формулы для планов с дополнительными выплатами могут быть модифицированы на случаи, когда уплата премий и пенсий осуществляется несколько раз в год.

Варианты заданий

Вариант 1

1. Для человека в возрасте Х лет определить:

- вероятность прожить еще К лет;

- вероятность умереть от М до М+К лет;

- вероятность умереть на (К+1)-ом году жизни.

Сколько в среднем из 1000 людей в возрасте Х доживут до Х+М лет?

2. Определите размер единовременного и ежемесячного (в течение первых К лет) взносов при смешанном страховании жизни сроком на М лет для человека в возрасте Х лет, если страховая сумма при дожитии равна S1 у.е., а в случае смерти наследники получат S2 у.е.

3. Определите размер единовременного взноса, который должен вносить страхователь в возрасте Х лет для того, чтобы получать затем в течение М лет в конце каждого месяца сумму в размере S1/10.

4. Найти размер ежемесячной нетто-премии, которую должен вносить в течение М лет страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежемесячно в течение 20 лет пенсию в размере S1, если план не предусматривает возврата взносов.

Вариант 2

1. Для человека в возрасте Х лет определить:

a. вероятность прожить еще 1 год;

b.вероятность прожить еще К лет;

c. вероятность умереть от М до М+К лет

d. среднюю продолжительность оставшейся жизни для человека в возрасте Х+М лет.

2. Определите размер единовременного и ежемесячного (в течение первых К лет) взносов при пожизненном страховании для человека в возрасте Х лет, если страховая сумма равна S1.

3. Определите размер единовременного взноса, который должен вносить страхователь в возрасте Х лет для того, чтобы получать в течение М лет в конце каждого квартала сумму в размере S1.

4. Найти размер ежемесячной нетто-премии, которую должен вносить в течение М лет страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежегодно в течение 30 лет пенсию в размере S1, если план предусматривает возврат взносов в случае смерти в допенсионном возрасте.

Вариант 3

1. Пусть есть два человека: один в возрасте Х лет, другой - возрасте Х+М лет. Чему равна вероятность того, что:

a) оба лица проживут не менее К лет;

b) первое лицо достигнет (Х+М)-летнего возраста, а второе умрет до (Х+М+К) лет.

2. Определите размер единовременного и ежеквартального (в течение первых К лет) взносов при смешанном страховании жизни сроком на М лет для человека в возрасте Х лет, если страховая сумма при дожитии равна S1, в случае смерти наследники получат S2.

3. Определите размер ежемесячных взносов, которые должен вносить страхователь в возрасте Х лет в течение первых К лет отсрочки для того, чтобы получать затем в течение М лет в начале каждого месяца сумму в размере S1/10 у.е.

4. Найти размер ежеквартальной нетто-премии, которую должен вносить в течение М лет страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежегодно пенсию в размере S1, если план предусматривает возврат взносов в случае смерти застрахованного в первые 3 года выплат.

Вариант 4

1. Пусть рассматривается группа из 500 человек, в которой 200 человек имеют возраст Х лет, а остальные 300 человек имеют возраст Х+М лет. Какова ожидаемая численность группы через К лет?

2. Определить размер единовременного взноса для человека в возрасте Х лет при заключении договора пожизненного страхования со страховой суммой S1.

3. Определите размер ежеквартального взноса, который должен вносить страхователь в возрасте Х лет в течение первых К лет для того, чтобы затем в течение М лет в начале каждого года получать сумму в размере S1.

4. Найти размер ежегодной нетто-премии, которую должен вносить в течение М лет страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежеквартально пенсию в размере S1, если план предусматривает возврат взносов только в случае смерти в допенсионном возрасте.

Вариант 5

1. Пусть штат компании представляет стационарную совокупность. При этом ежегодно компания принимает на работу Х лиц в возрасте 30 лет. 2Z процентов из них покидают компанию спустя М лет, Z процентов оставшихся покидают ее спустя М+К лет, и, наконец, все остальные уходят на пенсию в возрасте 70 лет. Найти число сотрудников компании, покидающих ее ежегодно в возрасте 50 лет.

2. Определить размер единовременного взноса для человека в возрасте Х лет при заключении договора пожизненного страхования со страховой суммой S1.

3. Определите размер единовременного и ежеквартального (в течение первых К лет) взносов при страховании на чистое дожитие сроком на М лет для человека в возрасте Х лет со страховой суммой S1 у.е.

4. Найти размер ежегодной нетто-премии, которую должен вносить в течение М лет страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежеквартально пенсию в размере S1/10, если план предусматривает возврат взносов в случае смерти застрахованного.

Вариант 6

1. Пусть штат компании представляет стационарную совокупность. При этом ежегодно компания принимает на работу 20 лиц в возрасте Х лет. Двадцать процентов из них покидают компанию спустя М лет, десять процентов оставшихся покидают ее спустя М+К лет, и, наконец, все остальные уходят на пенсию в возрасте 70 лет. Найти численность штата компании через 20 лет.

2. Определить размер единовременного взноса для человека в возрасте Х лет при заключении договора пожизненного страхования со страховой суммой S2.

3. Определите размер единовременного и ежемесячного (в течение первых К лет) взносов при страховании на чистое дожитие сроком на М лет для человека в возрасте Х лет, если страховая сумма равна S1.

4. Найти размер ежегодной нетто-премии, которую должен вносить в течение М лет страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежемесячно пенсию в размере S1/10.

Вариант 7

1. Пусть рассматривается группа из 1000 человек, в которой 20% имеют возраст Х лет, а остальные - возраст Х+М лет. Какова ожидаемая численность группы через К лет; через 10 лет?

2. Определите размер единовременного и полугодового (в течение первых К лет) взносов при смешанном страховании жизни сроком на М лет для человека в возрасте Х лет, если страховая сумма при дожитии равна S1, при смерти - S2/2.

3. Определите размер единовременного взноса, который должен вносить страхователь в возрасте Х лет для того, чтобы затем в конце каждого месяца получать сумму в размере S1/10.

4. Найти размер ежеквартальной нетто-премии, которую должен вносить страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежеквартально пенсию в размере S1 в течение 20 лет, если возврат взносов не предусмотрен.

Вариант 8

1. Пусть есть 10 человек: Z% из них в возрасте Х лет, остальные - возрасте Х+М лет. Чему равна вероятность того, что:

a) каждый проживет не менее К лет;

b) люди в возрасте Х доживут до Х+М лет, а остальные умрут, не достигнув 65 лет.

2. Определите размер единовременного и ежемесячного (в течение первых К лет) взносов при страховании жизни сроком на М лет для человека в возрасте Х лет, если в случае смерти наследники получат S1.

3. Определите размер единовременного взноса, который должен вносить страхователь в возрасте Х лет для того, чтобы начиная с М-ого года в начале каждого месяца получать сумму в размере S2.

4. Найти размер ежемесячной нетто-премии, которую должен вносить страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежемесячно пенсию в размере S1 в течение 15 лет, если план предусматривает возврат взносов в случае смерти застрахованного в допенсионном возрасте.

Вариант 9

1. Для человека в возрасте Х лет определить:

- вероятность прожить еще 1 год;

- вероятность умереть в течение следующих К лет;

- вероятность умереть через М лет в течение К лет.

Сколько в среднем из 1000 людей в возрасте Х доживут до Х+М+К лет?

2. Определите размер ежегодного взноса, уплачиваемого в течение первых К лет, при смешанном страховании жизни сроком на М лет, отложенном на К лет, для человека в возрасте Х лет, если страховая сумма при дожитии равна S2, в случае смерти – S1/2.

3. Определите размер единовременного взноса, которые должен вносить страхователь в возрасте Х лет, чтобы начиная с М-ого года в конце каждого квартала получать сумму в размере S2.

4. Найти размер ежемесячной нетто-премии, которую должен вносить страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежеквартально пенсию в размере S1, если план предусматривает возврат взносов в случае смерти застрахованного.

Вариант 10

1. Пусть штат компании представляет стационарную совокупность. При этом ежегодно компания принимает на работу 40 лиц в возрасте Х лет. Z процентов из них покидают компанию спустя М лет, 2Z процентов оставшихся покидают ее спустя М+К лет, и, наконец, все остальные уходят на пенсию в возрасте 60 лет. Найти число пенсионеров.

2. Определить размер единовременного взноса для человека в возрасте Х лет при заключении договора пожизненного страхования со страховой суммой S1.

3. Определите размер единовременного и ежемесячного (в течение первых К лет) взносов, которые должен вносить страхователь в возрасте Х лет для того, чтобы получать в конце каждого квартала сумму в размере S1/10.

4. Найти размер полугодовой нетто-премии, которую должен вносить в течение К лет страхователь в возрасте Х лет, чтобы получать ежеквартально пенсию в размере S1 в течение М лет.

Индивидуальные параметры ЭМ-81:

Индивидуальные параметры МЭ-81: