Понятие экстремума функции. Теорема Ферма.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке , и пусть – внутренняя точка этого промежутка.

Определение 4.4. Точку назовем точкой максимума (минимума) функции , если существует такое число > 0, что при всех из выполняется неравенство

(*)

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимальным (минимальным). Обратим внимание на то, что условие (*) не обязано выполняться на всем промежутке , т.е. носит локальный характер.

Не следует путать максимальные и минимальные значения функции с наибольшими и наименьшими значениями функции. Так на рисунке точки и являются точками максимума функции .

Значит и – максимальные значения, однако, наибольшим является лишь . Точка является точкой минимума функции , но наименьшее значение достигается функцией в точке .

Точки максимума и минимума функции называют общим термином – точки экстремума.