Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция имеет производную функцию на множестве . Может так случиться, что функция в некоторой точке из в свою очередь имеет производную, которую называют производной второго порядка для функции в точке и обозначают или .

Таким образом .

Если функция в каждой точке из имеет производную второго порядка, то соответствие называют производной функцией второго порядка для . Если эта функция в свою очередь имеет производную в точке , то ее называют производной третьего порядка для в точке : . И так далее. Предположим, что уже определена производная функция -го порядка. Тогда производной -го порядка от функции в точке назовем производную от производной функции -го порядка в точке :

ПРИМЕРЫ

1. . Найти производную функцию -го порядка.

Находим ; ; ; и так далее. Легко догадаться, что и доказать это методом математической индукции.

2. . Найти производную функцию -го порядка.

Находим ; ; ; .

Далее легко догадаться и доказать методом математической индукции, что .

3. Функция задана параметрически . Найти .

Решение.

Найдем сначала производную функцию первого порядка . . Так как эта производная функция выражена через параметр t, то запишем эту функцию в параметрическом виде:

Значит

Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков. Предположим, что функция имеет на множестве производную функцию . Тогда, выбрав некоторое приращение , мы можем найти дифференциал функции в каждой точке из . Следовательно, поставив в соответствие каждому из число , мы получим функцию . Далее, оставив то же самое приращение , найдем дифференциал от этой функции в некоторой точке . Получим дифференциал второго порядка от функции в точке :

Теперь можно определить дифференциал третьего, четвертого и так далее порядков. Предположим, что мы уже определили функцию . Дифференциалом -го порядка от функции в точке называют .

Очень важно иметь ввиду, что при нахождении дифференциалов высших порядков приращение аргумента всегда остается постоянным.