Структура

Визначення 6.1. Структура – частково впорядкована множина, у якій кожна двоелементна підмножина має одну єдину точну верхню (супремум) і точну нижню (інфімум) грані:

: .

Визначення 6.2. С труктура – це алгебраїчна система , для елементів якої справедливі закони ідемпотентності, комутативності, поглинання:

1) ;

2) ;

3) ,

і будь-які два елементи мають по одній єдиній точній верхній та нижній грані:

. (6.1)

Зауваження. Упорядкована система елементів не є структурою, якщо не існують супремум або інфімум; або вони існують, але не є єдиними.

Приклад 6.1. Будь-яка лінійно впорядкована множина є структурою, причому, якщо , то . Як може розглядатися множина дійсних чисел (рис. 6.1).

Рисунок 6.1 – Лінійно впорядкована множина як структура

Приклад 6.2. Множина всіх підмножин даної множини (булеан), упорядкована за включенням, із двома бінарними операціями об'єднання й перетинання: (рис. 6.2).

Рисунок 6.2 – Частково впорядкована множина як структура

Визначення 6.3. Структура може бути також визначена як універсальна алгебра із двома бінарними операціями об'єднання , перетинання (додавання й множення ; диз'юнкції , кон’юнкції ), що задовольняють властивості (властивості сформульовані в термінах теоретико-множинних операцій):

1) (ідемпотентність);

2) (комутативність);

3) (асоціативність);

3) (елімінація)

і для будь-яких двох елементів виконується умова

. (6.2)

Визначення 6.4. Підструктура є підмножина структури , що разом з кожною парою елементів містить також їхнє об'єднання (sup) і перетинання (inf), тобто

.

Визначення 6.5. Інтервалом називаються підструктури
з найменшим елементом і найбільшим елементом : .

Визначення 6.6. Нульовий і одиничний елементи в структурі називаються структурними нулем і одиницею.

Визначення 6.7. У структурі зі структурними нулем і одиницею два елементи , називаються додатковими, якщо , .

Визначення 6.8. Елемент , додатковий до елемента , називається доповненням елемента в структурі .

Визначення 6.9. Два елементи, що мають спільне доповнення у структурі , називаються зв'язаними в .

Приклад 6.3. У структурі із прикладу 6.2 (див. рис. 6.2) підструктурою є сукупність елементів , що може розглядатися як інтервал , обмежений найменшим елементом і найбільшим елементом . Нульовий і одиничний елементи в структурі – це й відповідно. Прикладом додаткових елементів у структурі можуть служити й , оскільки , .

Серед структур виділяють спеціальні типи, найбільш затребувані на практиці. Це дедекиндові й дистрибутивні структури.