Системы случайных величин

Если в результате одного испытания сразу несколько случайных величин приобретают свои значения, то говорят о системе случайных величин.

Пример: рост и вес случайно выбранного человека.

Между случайными величинами, составляющими систему может иметься связь той или иной степени выраженности: от функциональной зависимости, когда по значению одной из случайных величин можно точно установить значение другой, до независимости, т.е. полного отсутствия связи между величинами. При наличии связи между случайными величинами чаще имеется не функциональная, а вероятностная зависимость.

Случайные величины называются зависимыми (или связанными), если закон распределения одной из них меняется в зависимости от того, какое значение приобретает другая случайная величина.

Пример: рост и возраст случайно выбранного человека являются связанными случайными величинами.

Случайные величины называются независимыми, если их законы распределения не меняются в зависимости от того, какие значения приобретает вторая случайная величина.

Пример: число очков, выпавших на первой и второй игральной кости, брошенных одновременно.

Параметр, характеризующий наличие или отсутствие взаимосвязи между случайными величинами, называется ковариацией.

Ковариацией случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от их математических ожиданий:

Ковариацию удобно вычислять опираясь не на её определение, а на одну из формул:

;

.

Если ковариация случайных величин равна нулю, то случайные величины независимы, в противном случае между случайными величинами будет иметься некоторая связь, однако о степени такой связи ковариация говорить не позволяет.

Определить характер и степень взаимосвязи позволяет коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции может принимать значения из промежутка .

Он равен нулю для независимых случайных величин.

Абсолютная величина коэффициента корреляции показывает степень взаимосвязи случайных величин:

при слабая степень корреляционной связи между случайными величинами;

при между случайными величинами наблюдается средняя корреляционная связь;

при между случайными величинами имеется сильная корреляционная связь;

при наблюдается самая высокая степень связи между случайными величинами – линейная зависимость.

Знак коэффициента корреляции показывает характер связи между величинами: при положительных значениях связь прямая (случайные величины одновременно возрастают или убывают), при отрицательных – обратная (с возрастанием одной случайной величины вторая убывает).

Глава 6: Основные виды распределений

Среди множества всевозможных случайных величин можно выделить отдельные группы случайных величин, имеющих сходные по строению законы распределений. Группам законов распределений, часто встречающихся на практике, даны названия. Распределения случайных величин, появление каждого из значений которых равновозможны, называют равномерными распределениями. Распределения количества произошедших событий в серии из фиксированного числа одинаковых независимых испытаний называют биномиальными. Аналогичные распределения для относительно редких событий – распределениями Пуассона. Самым частым распределением, которое встречается в природе и практике, является нормальное распределение (для непрерывных случайных величин) и некоторые близкие к нему дискретные распределения. Причиной такой распространённости является тот факт, что с ростом числа факторов, влияющих на значение случайной величины и не играющих в этом решающей роли, закон распределения такой случайной величины будет приближаться к нормальному. Поведение случайных величин также характеризуется параметрами распределения (положением центра рассеяния и степени рассеяния значений). Для сравнения поведения различных случайных величин удобно перейти к стандартным случайным величинам.