Формула полной вероятности. Формула Байеса

При вычислении вероятностей событий на практике часто встречается ситуация, когда некоторое событие может наступить только одновременно (или является следствием) одного из нескольких попарно несовместных событий. Эти события по отношению к рассматриваемому принято называть гипотезами.

Обозначения: А – рассматриваемое событие, Н ₁, Н ₂, …, Н _n – гипотезы (попарно несовместные события, только при наступлении одного из которых может наступить событие А).

Примерами таких ситуаций являются следующие:

1. рассматриваемым событием является достижение цели, гипотезы – выбор того или иного пути достижения цели;

2. рассматриваемым событием является производство бракованной (или обладающей иной характеристикой) продукции, гипотезы – производство продукции определённым производителем;

3. рассматриваемое событие – выбор объекта, обладающего определёнными свойствами, гипотезы – выбор источника, из которого извлекается объект.

Формула полной вероятности позволяет определить вероятность интересующего события: – полная вероятность события равна сумме произведений условных вероятностей события по каждой из гипотез на вероятности соответствующих гипотез.

Если нам известно, что рассматриваемое событие произошло, и требуется узнать вероятность того, что событие стало следствием какой-либо конкретной гипотезы, то для этих целей применяется формула Байеса.

Это задачи, результатами которых являются:

1. вероятность достижения цели определённым путём при условии, что цель достигнута;

2. вероятность производства бракованной продукции определённым производителем;

3. вероятность того, что выбранный объект с определёнными свойствами, взят из конкретного источника.

Формула Байеса имеет вид: – вероятность того, что рассматриваемое событие произошло в следствие гипотезы Н _k, равна отношению произведения условной вероятности события при условии рассматриваемой гипотезы на вероятность этой гипотезы к вероятности рассматриваемого события, вычисленной по формуле полной вероятности.

Глава 3: Системы независимых испытаний

Часто встречающимся на практике случаем является система одинаковых испытаний, не влияющих на результаты друг друга, в каждом из которых может произойти некоторое событие. При изучении таких случаев, как правило, интерес представляет вероятность наступления определённого числа событий в серии испытаний. Моделью такой ситуации является схема Бернулли. Формула Бернулли и приближённые формулы позволяют дать ответ на вопросы о вероятностях таких результатов.