Вероятность события

Вероятность события – мера шанса на наступление события при проведении испытания.

Т.е. вероятность – это количественная характеристика, которая показывает, как часто происходит данное событие при многократном повторении испытания. Соответственно возникают вопросы о состоятельности такой величины и о её измерении. Используются три подхода к определению вероятности событий: статистический, классический и геометрический. У каждого из них есть свои преимущества и недостатки, ограничения на применимость.

Статистический подход является экспериментальным способом оценки вероятности события. Он обращается к использованию определения понятия «вероятность».

Рассматривается серия из n одинаковых испытаний. При этом интересующее нас событие А является результатом испытаний. Тогда отношение числа появления событий в серии испытаний (абсолютной частоты) к числу всех проведённых испытаний называется частотой появления события А в данной серии испытаний: .

Частота появления события является характеристикой конкретной серии испытаний и может изменяться от серии к серии. Нетрудно видеть, что значения, которые принимает частота, лежат в промежутке от 0 до 1. Частота появления события может принять любое значение из этого промежутка, что и происходит на практике. Однако с ростом числа испытаний в серии значения частоты будут ложиться внутри промежутка всё с меньшим разбросом (группироваться), причём при неограниченном возрастании числа испытаний частоты будут всё кучней ложиться вокруг определённого числа. Это число (которому будет равна частота при бесконечной серии испытаний) называется статистической вероятностью события А: .

На практике при достаточно длинной серии испытаний (когда случайным блужданием частоты уже можно пренебречь) статистическую вероятность события считают примерно равной частоте: .

Пример: Французский естествоиспытатель Бюффон подбросил монету 4040 раз, при этом герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в этой серии испытаний составляет . Из примера видно, что частота появления герба близка к интуитивной оценке вероятности этого события – герб должен выпадать в половине всех случаев.

Статистический подход к определению вероятности можно применять только при соблюдении следующих условий:

1. имеется возможность проведения серии экспериментов (или используется уже полученный результат такой серии);

2. оцениваемая вероятность события не является исчезающее малой.

Примером события с исчезающее малой вероятностью является падение монеты на ребро. Несмотря на то, что такие события иногда имеют место на практике, их существованием при анализе испытаний обычно пренебрегают. Если такие события происходят в эксперименте их принято не учитывать и списывать на нарушение технологии проведения эксперимента (считают, что в испытаниях с таким результатом созданы какие-либо особые условия проведения эксперимента).

Классический подход к определению вероятности события используется при выполнении следующих условий:

1. рассматриваемое испытание обладает конечным числом элементарных событий (исходов);

2. все элементарные события имеют равные шансы на появление в результате испытания.

Соблюдение указанных условий позволяет, исходя из теоретических рассуждений, оценить частоту появления события в бесконечной серии испытаний. При проведении бесконечной серии испытаний каждое элементарное событие (в указанных условиях) наступит в определённой доле всех испытаний (обратно пропорциональной их количеству). С учётом того, что в результатом отдельного испытания является ровно одно элементарное событие, рассматриваемое событие наступит в доле испытаний, равной сумме долей всех элементарных событий, благоприятных данному. Таким образом можно дать следующее определение вероятности.

Если число элементарных событий в рассматриваемом испытании конечно и все они имеют равные шансы на появление в результате испытания, то вероятность события А равна отношению числа m элементарных событий, благоприятных событию А, к числу n всех элементарных событий: .

Оценка равенства шансов на появление элементарных событий – это оценка равенства их вероятностей. Избежать нарушения логики в данном случае можно, если обосновывать равенство этих шансов исходя из симметрии рассматриваемой ситуации, равнозначности элементарных событий (когда мы не можем значимо отличить какое-либо из элементарных событий, выделить его среди других).

Пример: Определим вероятность выпадения составного числа очков при бросании игральной кости. Элементарным событием в данном испытании является падение кубика на определённую грань, всего у кубика 6 граней (конечное число элементарных событий). Т.к. кубик симметричен (его грани не отличаются друг от друга ничем, кроме изображения на них, что никак не сказывается на процессе падения кубика), то кубик может с равным шансом упасть на любую из граней (все элементарные события равновозможны). Выпадению составного числа очков благоприятны два элементарных события: выпадение четырёх и выпадение шести очков. Следовательно, вероятность данного события можно вычислить так: .

Геометрический подход к определению вероятности события применяется при выполнении условий:

1. число элементарных событий бесконечно, но пространство элементарных событий можно представить в виде линии, фигуры на плоскости, тела в пространстве (множества точек в евклидовом пространстве);

2. все элементарные события имеют равные шансы на появление в результате испытания.

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям при рассмотрении классического подхода, получаем следующее определение вероятности.

Если число равновозможных элементарных событий бесконечно и пространство элементарных событий представимо в виде множества точек в евклидовом пространстве, то вероятность события А равна отношению меры множества элементарных событий, благоприятных событию А, к мере пространства элементарных событий: .

В качестве меры может выступать длина линии, площадь фигуры, объём тела.

Пример: Два хулигана Петя и Вася решили разыграть «шутку»: поперёк тёмной аллеи шириной 4 м натянули верёвку и намазали её краской. Какова вероятность того, что прохожий не испачкается в краске, если хулиганам хватило краски только на 1 м верёвки? Прохожий касается верёвки в одной определённой точке, каждая точка соответствует элементарному событию. Число таких точек бесконечно, но их можно представить в виде отрезка. Прохожий может коснуться верёвки в любой точке, ни у одной из них нет преимуществ в этом перед остальными. В качестве меры множества в данном случае выступает длина линии. Множество элементарных событий, благоприятных рассматриваемому событию соответствует неокрашенной части верёвки, её длина 3 м. Длина пространства элементарных событий 4 м. Следовательно, вероятность рассматриваемого события вычисляется так: .

Примечание: классический подход можно рассматривать как частный случай применения геометрического подхода, когда пространство элементарных событий является конечным множеством точек, мерой которого является их количество.