Примеры решения задач

1. Кинетическая энергия электрона равна 1, 02 МэВ. Вычислить дли­ну волны де Бройля этого электрона.

. Дано: Е_к = 1, 02, МэВ=16, 2^.10^-14 Дж, Е₀ = 0, 51 МэВ = 8, 1^.10^-14 Дж.

Найти К.

Решение. Длина волны де Бройля определяется по формуле λ =h/p, (1) где λ — длина волны, соответствующая частице с им­пульсом р; h —постоянная Планка. По условию задачи кинетиче­ская энергия электрона больше его энергии покоя:

E_k = 2E₀, (2) следовательно, движущийся электрон является релятивистской части­цей. Импульс релятивистских частиц определяется по формуле

(3)

или, учитывая соотношение (2),

(4)

Подставляя (4) в (1), получим

Производя вычисления, получим

Ответ: λ =0, 87^.10^{-12 м}

2. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать,
что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус
ядра равным 10^{-13 см}.

Дано: R_я=10¹⁵ м, h= 6, 62^.10^-34 Дж^.с.

Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга выражается

формулой

где ∆ х — неопределенность координаты; ∆ p_х — неопределенность им­пульса; h — постоянная Планка. Если неопределенность координаты принять равной радиусу ядра, т. е. ∆ x=R_я, то неопределенность им­пульса электрона выразим следующим образом: ∆ p_x=h/(2π ∆ x). Так как ∆ p_x=m∆ v_x, то m∆ v_x=h/(2π ∆ х) и ∆ v_x=h/(2π ∆ x^.m). Вычислим неопределенность скорости электрона:

Сравнивая полученное значение ∆ v_x со скоростью света в вакууме с=3^.10⁸ м/с, видим, что ∆ v_x> c, а это невозможно, следовательно, ядра не могут содержать электронов.

2. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенци­альной яме шириной 1 нм в возбужденном состоянии. Определить минимальное, значение энергии электрона и вероятность нахождения электрона в интервале 0< х< l/3 второго энергетического уровня.

Дано: l = 1 нм=10^{-9 м,} m = 9, 1^.10^{-31 кг, 0< х<} l/3, п=2.

Найти: E_min, P₂

Решение. В квантовой механике информацию о движений частиц получают из волновой функции (ψ -функция), которая отражает рас­пределение частиц или систем по квантовым состояниям. Эти части­цы характеризуются дискретными значениями энергии, импульса, момента импульса, т. е. ψ -функция является функцией состояния частиц в микромире. Решая уравнение Шредингера, получим, что для рассматриваемого случая собственная функция имеет вид

(1)

(рис 17)

где n = 1, 2, 3,...; х — координата частицы; l — ширина ямы. Графики собственных функций изображены на рис. 17. Согласно соотношению де Бройля двум отличающимся знаком проекциям им­пульса соответствуют две плоские монохроматические волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях вдоль оси х. В результате их интерференции возникают стоячие вол­ны де Бройля, характеризующиеся стационарным распределением вдоль оси х амплитуды колебаний. Эта амплитуда и есть волновая функция ψ (x), квадрат которой определяет плотность вероятности пребывания электрона в точке с координатой х. Как видно из рис. 17, для значения n = 1 на ширине ямы l укладывается полови­на длины стоячей волны де Бройля, для n = 2 — целая длина стоячей волны де Бройля и т. д., т. е. в потенциальной яме могут быть лишь волны де Бройля, длина которых удовлетворяет условию

1 = пλ /2 (n= 1, 2, 3,..,)

Таким образом, на ширине lямы должно укладываться целое число полуволн: λ =2l/n, (2)

Полная энергия частицы в потенциальной яме зависит от ее ширины l и определяется формулой Е=h²n²/(8ml²) (3), где m — масса частицы; n=1, 2, 3.... Минимальное значение энергии элек­трон будет иметь при минимальном значении п, т. е. при п=1. Сле­довательно,

E_min=h²l²/(8ml²)

Подставляя числовые значения, получим

Вероятность того, что электрон будет обнаружен в интервале от х до x + dx, равна

Искомую вероятность находим интегрированием в пределах от 0 до l/3:

Используя соотношение sin²α = (1 - cos2α), вычисляем интеграл при условии, что электрон находится на втором энергетическом уровне:

Ответ: Е_min = 0, 6^.10^-19 Дж, Р₂=0, 4

4. Граничная длина волны К_а - серии характеристического рентгенов­ского излучения для некоторого элемента равна 0, 0205 нм. Опреде­лить этот элемент.

Дано: λ _Ка = 0, 0205 нм=0, 205^.10^{-10 м}, i = 1, n=2, a=1.

Найти Z.

Решение. Из формулы Мозли

где λ — длина волны характеристического излучения, равная λ =c/v (с — скорость света, v — частота, соответствующая длине волны λ ); R — постоянная Ридберга; Z — порядковый номер элемента, из ко­торого изготовлен электрод; а —постоянная экранирования; i — но­мер энергетического уровня, на который переходит электрон; п — но­мер энергетического уровня, с которого переходит электрон (для K_a -серии i =1, п=2, а= 1 ), находим Z:

Порядковый номер 78 имеет платина.

Ответ: Z=78 (платина).

5. На поверхность воды падает узкий монохроматический пучок γ -лучей с длиной волны 0, 775 пм. На какой глубине интенсивность γ -лучей уменьшится в 100 раз!

Дано: λ =0, 775 пм = 7, 7^.10^{-13 м,} k=100.

Найти х.

Решение. Ослабление интенсивности γ -лучей определяется из фор­мулы I=I₀e^{-μ x}, (1) откуда k=: I₀/I=e^{-μ x}, где I₀ — интенсивность падающего пучка γ -лучей; I — их интенсивность на глубине х; μ - коэффициент линейного ослабления. Решая уравнение (1) относи­тельно х, находим

ln_k = μ x; x = ln_k/μ (2)

Для определения μ, вычислим энергию γ -квантов ε = hν =hc/λ, где h — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме. Подставляя чис­ловые значения, получим

По графику зависимости линейного коэффициента ослабления γ -лу­чей от их энергии (рис. 18) находим μ =0, 06 см^-1. Подставляя это значение μ. вформулу (2), находим

(рис 18)

Ответ: х= 76, 75 см.

6. Определить, сколько ядер в 1 г радиоактивного ⁹⁰₃₈Sr распадается в течение одного года.

Дано: m =10^{-3 кг,} T=27 лет, t=1 год.

Найти Nt

Решение. Для определения числа атомов, содержащихся в 1 г ⁹⁰₃₈Sr, используем соотношение

N = vN_A = (m/M) N_A, (1)

где N_A —постоянная Авогадро; ν - число молей, содержащихся в массе данного элемента; М — молярная масса изотопа. Между молярной массой изотопа и его относительной атомной массой сущест­вует соотношение: М= 10^—3 А кг/моль. (2) Для всякого изотопа относительная атомная масса весьма близка к его массовому числу А, т. е. для данного случая M=10^-3. 90 кг/моль=9 ^. 10^-2 кг/моль. Используя закон радиоактивного распада

N = N₀e^{-λ t} (3)

где No — начальное число нераспавшихся ядер в момент t =0; N — число нераспавшихся ядер в момент t; λ — постоянная радиоактив­ного распада, определим количество распавшихся ядер ⁹⁰₃₈ Sr в те­чение 1 года:

N_t = N₀ - N = N_o(1-e^{-λ t}) (4)

Учитывая, что постоянная радиоактивного распада связана с перио­дом полураспада соотношением λ = 1п2/Т, получим

N_t = N₀(1 – e^-(ln2/T)t) (5)

Подставляя (1) с учетом (2) в выражение (5), имеем (6)

Произведя вычисления по формуле (6), найдем

Ответ: N_t = 6, 4 ^. 10²¹

7. Вычислить в мегаэлектрон-вольтах энергию ядерной реакции:

Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

Решение. Энергию ядерной реакции ∆ Е=∆ тс^г, (1), где ∆ m — дефект массы реакции; с — скорость света в вакууме. Если ∆ m выра­жать в а. е. м., то формула (1) примет вид ∆ Е=931∆ m. Дефект мас­сы равен

Так как число электронов до и после реакции сохраняется, то вмес­то значений масс ядер воспользуемся значениями масс нейтральных атомов, которые приводятся в справочных таблицах:

; ;

Реакция идет с выделением энергии, так как ∆ m> 0:

∆ E = 931 МэВ/а.е.м. ^. 0, 00825 а.е.м = 7, 66 МэВ

Ответ: ∆ E =7, 66 МэВ.

8. Медь имеет гранецентрированную кубическую решетку. Расстоя­ние между ближайшими атомами меди 0, 255 нм. Определить плот­ность меди и параметр решетки.

Дано: d=0, 255 нм=2, 55^.10¹⁰ м, n = 4, М = 63, 54^.10^-3 кг/моль.

Найти: ρ, а.

Решение. Плотность кристалла меди найдем по формуле ρ = M/Vo, (1) где М — молярная масса меди; Vo — молярный объем. Он равен объему одной элементарной ячейки а³, умноженной на чис­ло Z₀ элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла: V₀=a³Z₀. (2)

Число элементарных ячеек, содержащихся в одном моле крис­талла, состоящего из одинаковых атомов, найдем, разделив постоян­ную Авогадро N_A на число п атомов, приходящихся на одну эле­ментарную ячейку: Z₀ = N_A/n. (3) Для кубической гранецентрированной решетки n = 4. Подставляя (3) в (2), получим

V₀ = a³N_A/n. (4)

Подставляя (4) в (1), окончательно имеем

ρ = Mn/(a³N_A).

Расстояние между ближайшими соседними атомами связано с параметром решетки а простым геометрическим соотношением (рис. 19):

a = d√ 2.

(рис 19)

Подставляя числовые значения в расчетные формулы, находим

(рис 19)

Ответ: a = 3, 59*10^{-10 м, ρ = 9, 12 *103} кг/м³

9. Кристаллический алюминий массой 10 г нагревается от 10 до 20 К. Пользуясь теорией Дебая, определить количество теплоты, не­обходимое для нагревания. Характеристическая температура Дебая для алюминия равна 418 К. Считать, что условие T< < ϴ _D выпол­няется.

Дано: m =0, 01 кг, T₁ = 10 К, T₂ = 20 К, ϴ _D =418 К, M = 27 ^. 10³ кг/моль.

Найти Q.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания алюми­ния от температуры T₁ до Т₂ будем вычислять по формуле

(1)

где m — масса алюминия; с — его удельная теплоемкость, которая связана с молярной теплоемкостью соотношением с=С_m /М. Учиты­вая это, формулу (1) запишем в виде

(2)

По теории Дебая, если условие T< < ϴ _D выполнено, молярная теплоемкость определяется предельным законом

(3)

где R=8, 31 Дж/(моль^.К) —молярная газовая постоянная; ϴ _D — характеристическая температура Дебая; Т — термодинамическая тем­пература. Подставляя (3) в (2) и выполняя интегрирование, полу­чаем

Подставляя числовые значения, находим

Ответ: Q=0, 36 Дж.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА N 6 (5)

1. Определить кинетическую энергию протона и электрона, для которых длины волн де Бройля равны 0, 06 нм.

2. Кинетическая энергия протона равна его энергии покоя. Вы­числить длину волны де Бройля для такого протона.

3.Определить длины волн де Бройля электрона и протона, про­шедших одинаковую ускорящую разность потенциалов 400 В.

4. Протон обладает кинетической энергией, равной энергии покоя. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля протона, если его кинетическая энергия увеличится в 2 раза?

5.Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя. Вы­числить длину волны де Бройля для такого электрона.

6.Масса движущегося электрона в 2 раза больше массы покоя. Определить длину волны де Бройля для такого электрона.

7. Используя постулат Бора, найти связь между длиной волны де Бройля и длиной круговой электронной орбиты.

8. Какой кинетической энергией должен обладать электрон, что­бы дебройлевская длина волны электрона была равна его комптоновской длине волны.

9. Сравнить длины волн де Бройля электрона, прошедшего раз­ность потенциалов 1000 В, атома водорода, движущегося со скоро­стью равной средней квадратичной скорости при температуре 27 °С, и шарика массой 1 г, движущегося со скоростью 0, 1 м/с.

10.Какой кинетической энергией должен обладать протон, чтобы дебройлевская длина волны протона была равна его комптоновской длине волны.

11.Среднее время жизни π °-мезона равно 1, 9 ^. 10^-16с. Какова должна быть энергетическая разрешающая способность прибора, е помощью которого можно зарегистрировать π ⁰-мезон?

12.На фотографии, полученной с помощью камеры Вильсона, ши­рина следа электрона составляет 0, 8 ^. 10^{-3 м. Найти неопределенность в нахождении его скорости.}

13.Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода 13, 6 эВ. Используя соотношение неопределенностей, найти наименьшую погрешность, с которой можно вычислить коорди­нату электрона в атоме.

14.Электрон, движущийся со скоростью 8 ^. 10⁶ м/с, зарегистри­рован в пузырьковой камере. Используя соотношение неопределенно­стей, найти погрешность в измерении скорости электрона, если диа­метр образовавшегося пузырька в камере 1 мкм.

15.Показать, что для частицы, неопределенность координаты ко­торой ∆ x=λ (2π) (λ — длина волны де Бройля), неопределенность ее скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.

16.Среднее время жизни π ⁺-мезона равно 2, 5 ^. 10^-8 c. Какова должна быть энергетическая разрешающая способность прибора, с помощью которого можно зарегистрировать π +-мезон?

17.Исходя из соотношения неопределенностей, оценить размеры ядра атома, считая, что минимальная энергия нуклона в ядре 8 МэВ.

18.Используя соотношение неопределенностей, оценить энергию электрона, находящегося на первой боровской орбите в атоме во­дорода.

19.Используя соотношение неопределенностей, показать, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра при­нять равными 5, 8 ^. 10^{-15 м. Учесть, что удельная энергия связи в среднем 8 МэВ/нуклон.}

20.Атом испустил фотон с длиной волны 0, 550 мкм. Продол­жительность излучения 10 не. Определить наибольшую погрешность, с которой может быть измерена длина волны излучения.

21.Частица в потенциальной яме шириной l находится в воз­бужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале 0< x < l /2 на третьем энергетическом уровне.

22.Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одномерной потенциальной ямы, ширина которой I, в интервале 0< х< l/4.

23.Определить, при какой ширине одномерной потенциальной ямы дискретность энергии электрона становится сравнимой с энер­гией теплового движения при температуре 300 К.

24.Электрон находится в основном состоянии в одномерной по­тенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой 0, 1 нм. Определить импульс электрона.

25.Электрон находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина кото­рой 0, 1 нм. Определить среднюю силу давления, оказываемую элек­троном на стенки ямы.

26.Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бес­конечно высокими стенками, ширина которой 1, 4 ^. 10^{-9 м. Определить} энергию, излучаемую при переходе электрона с третьего энергетиче­ского уровня на второй.

27.Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бес­конечно высокими стенками, ширина которой 1 нм. Определить наи­меньшую разность энергетических уровней электрона.

28.Определить, при какой температуре дискретность энергии электрона, находящегося в одномерной потенциальной яме, ширина которой 2 ^. 10^{-8 м, становится сравнимой с энергией теплового дви­жения.}

29.Частица в потенциальной яме шириной l находится в воз­бужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале 0< x < l /4 на втором энергетическом уровне.

30.Определить ширину одномерной потенциальной ямы с бес­конечно высокими стенками, если при переходе электрона с третьего энергетического уровня на второй излучается энергия 1 эВ?

31.Граничное значение длины волны К-серии характеристиче­ского рентгеновского излучения некоторого элемента равно 0, 174 нм. Определить этот элемент.

32.Найти граничную длину волны К-серии рентгеновского излу­чения от платинового антикатода.

33.При каком наименьшем напряжении на рентгеновской трубке с железным антикатодом появляются линии К_а -серии?

34.Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к рентгеновской трубке с вольфрамовым антикатодом, чтобы в спек­тре излучения вольфрама были все линии К-серии?

35.Граничная длина волны К-серии характеристического рент­геновского излучения некоторого элемента равна 0, 1284 нм. Опреде­лить этот элемент.

36. Определить минимальную длину волны тормозного рентге­новского излучения, если к рентгеновской трубке приложены напря­жения 30 кВ; 75 кВ.

37.Наименьшая длина волны тормозного рентгеновского излу­чения, полученного от трубки, работающей под напряжением 15 кВ, равна 0, 0825 нм. Вычислить по этим данным постоянную Планка.

38.При переходе электрона в атоме меди с M-слоя на L-слой испускаются лучи с длиной волны 12 ^. 10^{-10 м. Вычислить постоянную} экранирования в формуле Мозли.

39.Наибольшая длина волны K-серии характеристического рент­геновского излучения равна 1, 94 ^. 10^{-10 м. Из какого материала сде­лан антикатод?}

40.К рентгеновской трубке, применяемой в медицине для диаг­ностики, приложено напряжение 45000 В. Найти границу сплошного рентгеновского спектра.

41.Период полураспада радиоактивного аргона ⁴¹₁₈Аг равен 110 мин. Определить время, в течение которого распадается 25% начального количества атомов.

42.Вычислить толщину слоя половинного поглощения свинца, через который проходит узкий монохроматический пучок γ -лучей с энергией 1, 2 МэВ.

43.Период полураспада изотопа ⁶⁰₂₇Co равен примерно 5, 3 года. Определить постоянную распада и среднюю продолжительность жизни атомов этого изотопа.

44.На железный экран падает узкий монохроматический пучок γ -лучей, длина волны которых 0, 124 ^. 10^-2 нм. Найти толщину слоя половинного поглощения железа.

45.Какова энергия γ -лучей, если' при прохождении через слой алюминия толшиной 5 см интенсивность излучения ослабляется в 3 раза?

46.Период полураспада ⁶⁰₂₇Со равен 5, 3 года. Определить, ка­кая доля первоначального количества ядер этого изотопа распадается через 5 лет,

47.Рассчитать толщину защитного водяного слоя, который ос­лабляет интенсивность γ -излучения с энергией 1, 6 МэВ в 5 раз.

48.За год распалось 60 % некоторого исходного радиоактивного элемента. Определить период полураспада этого элемента.

49.Через экран, состоящий из двух плит: свинцовой толщиной 2 см и железной толщиной 5 см, проходит узкий пучок γ -лучей с энергией 3 МэВ. Определить, во сколько раз изменится интенсив­ность γ -лучей при прохождении этого экрана.

50.Определить постоянную распада и число атомов радона, распавшихся в течение суток, если первоначальная масса радона 10 г.

51.Вычислить дефект массы, энергию связи ядра и удельную энергию связи для элемента ¹⁰⁸₄₇Ag.

52.Вычислить энергию термоядерной реакции

53. В какой элемент превращается ²³⁸₉₂ U после трех α -распадов и двух β -превращений?

54.Определить максимальную энергию β -частиц при β -распаде трития. Написать уравнение распада.

50. Определить максимальную, кинетическую энергию электрона, вылетающего при β -распаде нейтрона. Написать уравнение распада.

55.Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи для элемента ²⁴₁₂Mg.

56.Ядро, состоящее из 92 протонов и 143 нейтронов, выбросило α -частицу. Какое ядро образовалось в результате α -распада? Опре­делить дефект массы и энергию связи образовавшегося ядра.

57.При термоядерном взаимодействии двух дейтронов возмож­ны образования двух типов: 1) ³₂Не и 2) ³₁H. Определить тепловые эффекты этих реакций.

58.Какое количество энергии освобождается при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное ядро?

60. Вычислить энергию ядерной реакции

61.Молибден имеет объемно-центрированную кубическую крис­таллическую решетку. Расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0, 272 им. Определить плотность молибдена.

62.Используя теорию Дебая, вычислить удельную теплоемкость железа при температуре 12 К. Принять характеристическую темпера­туру Дебая для железа 467 К. Считать, что условие T< < ϴ _D выполняется.

63.Золото имеет гранецентрированную кубическую кристаллическую решетку. Найти плотность золота и расстояние между ближай­шими атомами, если параметр решетки 0, 407 нм.

64.Определить примесную электропроводность германия, кото­рый содержит индий с концентрацией 5 ^. 10²² м^-3 и сурьму с концент­рацией 2 ^. 10²¹ м^-3. Подвижности электронов и дырок для германия соответственно равны 0, 38 и 0, 18 м²/(В ^. с).

65.При комнатной температуре плотность рубидия равна 1, 53 г/см³. Он имеет объемно-центрированную кубическую кристалли­ческую решетку. Определить расстояние между ближайшими сосед­ними атомами рубидия.

66.Слиток золота массой 500 г нагревают от 5 до 15 К. Опре­делить, пользуясь теорией Дебая, количество теплоты, необходимое для нагревания. Характеристическая температура Дебая для золота 165 К. Считать, что условие T< < ϴ _D выполняется.

67.Определить примесную электропроводность германия, кото­рый содержит бор с концентрацией 2 ^. 10²² м^-3 и мышьяк с концент­рацией 5 ^. 10²¹ м^-3. Подвижности электронов и дырок для германия соответственно равны 0, 38 и 0, 18 м²/(В ^. с).

68.Найти параметр решетки и расстояние между ближайшими соседними атомами серебра, который имеет гранецентрированную ку­бическую кристаллическую решетку. Плотность серебра при комнат­ной температуре равна 10, 49 г/см³.

69.Пользуясь теорией Дебая, найти молярную теплоемкость цинка при температуре 14 К. Характеристическая температура Де­бая для цинка 308 К. Считать, что условие T< < ϴ _D выполняется.

70.Определить примесную электропроводность кремния, кото­рый содержит бор с концентрацией 5 ^. 10²² м^-3 и сурьму с концент­рацией 58 ^. 10²¹ м^-3. Подвижности электронов и дырок для кремния соответственно равны 0, 16 и 0, 04 м²/(В ^. с).