Примеры выбора по критерию Парето.

В безусловном критерии предпочтения полагается, что компоненты вектора показателей качества K= { k_l },
l= {1, M } вариантов однородного множества {ω _i } несравнимы по предпочтению. В соответствии с π - критерием принимается (для минимизации), что вариант w _i доминирует по Парето вариант w _j (w _i fw _j), если k_l (w _i )£ k_l (w _j ); " l = {1, M }; i ¹ j; i, j = {1, N }, (5.1)

причем, хотя бы для одного l такое неравенство является строгим. Безусловным критерий называется ещё и потому, что на показатели качества (ПК) вариантов не накладываются никакие условия, а сами ПК - ортогональны (независимы) и несравнимы.

Критерий Парето предполагает полное бинарное сравнение всех альтернатив друг с другом (по всем вариантам и по всем показателям качества) по правилу (5.1) и выявление эффективного(ых) варианта(ов) w₀Î W_p Í W, для которого(ых) не существует другого варианта, у которого значение, по крайней мере, одного показателя качества k_l меньше, чем у w₀ (при прочих равных значениях k_m,, m ¹ l)..

Любые два варианта w _i, w _j Î W_д могут быть сравнимы и несравнимы по совокупности показателей качества. Вариантысравнимы, если значения всех показателей качества одного варианта меньше (или больше) значений показателей качества другого варианта. Если это не так, то варианты несравнимы.

На рис. 5.1 представлена графическая интерпретация сравнимости решений. Пусть множество векторных оценокальтернатив Ω ={w_i } Í Е ² в координатах ПК: k₁, k₂ сравнивается с вариантом ω * Î W.

Лексикографический критерий

является условным неметрическим критерием, где в качестве дополнительной информации вводятся условияранжировки показателей качества по предпочтениям ЛПР. Это приводит к скаляризации векторной задачи выбора по совокупности ПК путем разбиения её на ряд последовательных оптимизационных задач по каждому из ПК. Вначале решение проводится по самому важному из ПК, затем по второму, третьему…. и т.д. показателям качества, в соответствии с их важностью.

Лексикографический критерий предпочтения L (W/ < /k₁,..., k_M>) определяет в задаче выбора множество лучших альтернатив W_{0 L} на основании последовательного выполнения условий (для минимизации)

При этом решение задачи может быть представлено в виде «вложения» линейных порядков L (W /< k₁>),
l= {1, M } альтернатив по показателям качества < k ₁, k ₂ ,..., k_м>: L (W /< k ₁, ..., k_м>).

Напомним, что линейным порядком L (W /k₁) l= {1, M } альтернатив на множестве W = {w _i }, i= {1, N } по k₁ называется упорядоченное множество вида

L (W /k₁) = < {w₁, w ₂ } ,..., {w _z, w _z+1, w _z+2 } ,..., w _N >,
для которого {w₁, w₂} f, …, f {w _z, w _{z +1}, w _{z +2}} f,..., f w _{N -1} f w _N .

Здесь в подмножествах {w₁, w₂}и {w _z, w _z+1, w _{z+ 2}} показатели качества имеют соответственно равные значения:

k₁ (w₁) = k₁ (w₂) <,..., < k₁ (w _z) = k₁ (w _{z+ 1}) = k₁ (w _{z+ 2}) <...< k₁ (w _N).

Дальнейшее упорядочение вподмножествах{w₁, w₂}, {w _z, w _{z+ 1}, w _{z+ 2}} на W /k_l и им подобных группах эквивалентных вариантов по k₁, l= {1, M } можно провести установлением линейного порядка среди элементов этих подмножеств по следующему по важности показателю k ₂. А на подмножествах с одинаковыми значениями по k ₂- установлением линейного порядка по k ₃и т.д. в соответствии с приоритетами в линейном порядке ПК< k ₁, k ₂, ..., k_м >, заданном ЛПР.

При этом для сравнимых L- постановок большей силой обладает постановка большей размерности, т.е.

L< k₁> < L< k ₁, k ₂ > < …. < L< k ₁, ..., k_M>.

Множества оптимальных решений для L- постановок разной размерности из {1, M } соотносятся следующим образом

W _M Í W _{M -1} Í...Í W₁ Í W_.

Если все альтернативы из множества W отличаются значением по крайне мере одного показателя качества, то лучшая альтернатива - единственная w_л= W_{0 L}; ê W_{0 L} ê = 1. А значит, проектная задача выбора может быть решена однозначно и сама L- постановка – полная.

Процедура выбора L - оптимальных (лучших) решений осуществляется поиском концевых вершин в линейных цепях лексикографии, представляющих собой диаграммы Хассе G_L (W, U_L)для L - постановок.

Ранжировка показателей качества в соответствии с предпочтениями ЛПР позволяет отбросить в большинстве случаев значительно большее количество альтернатив, чем с помощью  - постановки, или S-постановки. При этом следует иметь в виду, что сила L-критерия возрастает с увеличением числа показателей качества.