Анализ результатов наблюдений

7.1.Корреляционный анализ

Для выражения зависимости между двумя показателями в математике применяется понятие функция. Под функциональной связью понимается такой вид зависимости между переменными, когда каждому значению одной величины (аргумент) соответствует строго определенное значение другой величины (функция). Например, известно, что повышение температуры на 10^о ускоряет химическую реакцию в два раза, радиус окружности изменяется в строгом соответствии с изменением ее длины и т.д.

Но такие связи при изучении физических, экономических, демографических процессов встречаются крайне редко.

В предыдущих лекциях были рассмотрены вопросы себестоимости, выпускаемой предприятием. Себестоимость продукции зависит от производительности труда, своевременного поступления сырья, совершенства оборудования и др.

Существующие между различными признаками связи характеризуются тем, что определенному значению одного признака соответствует не одно, а несколько различных значений другого признака, варьирующих около своей средней величины. Такой вид связи между переменными Х и Y называется коррелятивной связью, или просто корреляцией.

Основным мерилом связи, существующей между исследуемыми признаками, служит коэффициент корреляции, который при отсутствии разбивки вариант на группы имеет следующий вид:

(7.1)

В числителе этой формулы стоит сумма произведений отклонений вариант от средней арифметической по одному ряду на соответствующие отклонения вариант от средней арифметической по другому ряду(Y). В знаменателе произведение средних квадратичных отклонений по Х и по У, умноженное на число пар сопоставляемых величин.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и сопровождается либо положительным (+), либо отрицательным знаком (-), что указывает на прямую или обратную зависимость между переменными Х и У. Под прямой или положительной связью понимаются такие случаи, когда увеличение одного признака влечет за собой увеличение другого. При обратной или отрицательной связи увеличение одного признака сопровождается уменьшением величины другого. Если величины Х и У распределяются независимо друг от друга, то коэффициент корреляции равен нулю. При увеличении зависимости между варьирующими величинами коэффициент корреляции приближается к единице; r=1, означает уже не корреляционную, а функциональную связь.

Условно можно считать, что величина r от 0, 1 до 0, 5 указывает на слабую связь между признаками, которые в большей мере варьируют независимо друг от друга; от 0, 5 до 0, 7 дает представление о средней степени сопряженности, и от 0, 7 и выше свидетельствует о наличии довольно сильной связи между переменными Х и У.

Квадратическая ошибка коэффициента корреляции

(7.2)

При малом числе наблюдений n берется «числом степеней свободы», обычно как n-2, и ошибка m вычисляется по формуле.

(7.3)

Ошибка коэффициента корреляции обладает свойством приближаться к нулю, когда коэффициент корреляции приближается к единице. Так что при r=1 независимо от знака m_r=0.

Значение коэффициента корреляции оценивается с помощью критерия достоверности, который представляет отношение этого коэффициента к своей средней квадратической ошибке

(7.4)

Рассчитанный критерий достоверности сравнивается с табличным при принятом уровне значимости и числе степеней свободы. Если расчетное значение критерия достоверности больше табличного, то это свидетельствует о достоверности коэффициента корреляции.

Уровень значимости – это вероятность, которая требуется для точности определения исследуемого показателя. Уровень значимости принимается равным 0, 01, если требуется точность 99% и 0, 05, если требуется точность 95%.

Рассмотрим пример расчета коэффициента корреляции на примере зависимости стоимости продукции от производительности труда. Исходные данные и рассчитанные параметры, входящие в формулу (7.1) приведены в таблице 7.1.

Между производительностью и стоимостью имеет место прямая про- порциональность (рис.7.1.), что дает основание рассчитывать коєффициент корреляции.

Подставив приведенные в таблице 7.1 расчетные данные в формулу (7.1) получим значения коэффициента корреляции равные

Таблица 7.1.Исходные данные для расчёта коэффициента корреляции

.

№№	Производитель-ность, т/сутки (хi)	Стоимость, гр. (уi)	()	()	()х ()
			3, 9	-1, 6	-6, 24
			-4, 1	2, 4	-4, 34
			-1, 1	0, 4	-0, 44
			0, 9	-1, 6	-1, 44
			-3, 1	1, 4	-4, 34
			7, 9	-3, 6	-28, 44
			4, 9	-2, 6	-12, 44
			-0, 1	-0, 6	-0, 06
			-3, 1	1, 4	-4, 34
			-6, 1	4, 4	-26, 84
N=10					-44, 72

Рис.7.1 Зависимость между производительностью и стоимостью продукции.

По формулам (7.2) и (7.3) рассчитаны ошибка и критерий достоверности

соответственно:

Расчетное значение критерия достоверности больше табличного значения при 8 степенях свободы и уровне значимости 0, 01 равного 4, 78, следовательно рассчитанный коэффициент корреляции достоверен.

7.2. Корреляционное отношение

Как уже отмечалось, коэффициент корреляции пригоден лишь для измерения прямолинейной связи. Если же зависимость между варьирующими величинами Х и У сильно отличается от прямолинейной регрессии, этот показатель оказывается неточным и применять его не следует. В таких случаях мерилом сопряженности изучаемых признаков служит корреляционное отношение, обозначаемое греческой буквой «эта» (ή).

В отличие от коэффициента корреляции отношение измеряет любую форму связи, притом измеряет двусторонне, поэтому и выражается не одним, а двумя коэффициентами - _х/у и _у/х.

Представление о характере связи между варьирующими величинами дают графики корреляционной зависимости. Как показатель сопряженности корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1, но в отличие от коэффициента корреляции не имеет знака.

При малом числе наблюдений корреляционное отношение вычисляется прямым способом, т.е. без разбивки вариант на классы, по следующим формулам:

(7.4)

(7.5)

Здесь сумма квадратов отклонений вариант от их средней арифметической; - сумма квадратов отклонений вариант от частной средней, т.е. средней арифметической не всего ряда вариант, а отдельных его значений, соответствующих определенным значениям вариант другого ряда, которые располагаются в возрастающем или убывающем порядке. Например, имеются следующие два ряда сопряженных значений каких-то признаков Х и У: (табл 7.2)

Таблица 7.2. Ряды сопряженных значений

По данным, приведённым в таблице7.2, видно, что значения первого признака(X) разбиваются на четыре группы: 2, 4, 6 и 8. В первых двух группах по две одинаковых варианты, в третьей группе – три, а в четвертой – всего одна. По второму же признаку(Y) эти группы значений неодинаковы. Так, первые два варианта имеют значения 4 и 6. Если взять среднюю арифметическую этих значений, то она в равной мере будет соответствовать двум первым (одинаковым) значениям признака X: (4 + 6): 2=5.Это и есть частная средняя арифметическая (y^-0₁)Y по X.

Таким же способом находим величину второй частной средней:

y^-0₂=(5+7): 2=6.

Для третьей группы значений частная средняя:

y^-0₃=(10+8+12): 3=10.

В результате получается ряд частных средних арифметических по ряду Y, соответствующих определенным значениям ряда X: (табл. 7.3)

Таблица 7.3. Значение частных средних

Из этого примера видно значения частных средних и методика их определения; в отличие от общих средних арифметических частные средние обозначим через x⁰ и y⁰

При оценке степени сопряженности между варьирующими величинами Х и У как в случаях прямолинейной, так и при криволинейной зависимости приходится вычислять суммарные показатели связи. Одним из таких показателей по аналогии с коэффициентом корреляции можно назвать коэффициент криволинейной корреляции и обозначить знаком

7.3. Ранговый коэффициент корреляции

В ряде случаев, когда необходимо измерить степень изменчивости между варьирующими величинами Х и Y, связанными друг с другом общим направлением изменчивости, можно воспользоваться непараметрическим, так называемым ранговым методом. В отличие от описанного выше способа, когда при вычислении коэффициента корреляции варианты располагаются в ряд как попало, ранговый метод требует ранжирования вариант, т.е. распределения их в возрастающем или убывающем порядке, так, чтобы каждая варианта занимала в каждом строю свое место.

В основу этого метода положены весьма простые соображения. Чтобы установить, имеется ли связь между признаками Х и У, необходимо расположить цифровой материал в возрастающем или убывающем порядке.

Обозначив ранжированные значения величин Х и У порядковыми числами натурального ряда, получим полное совпадение этих чисел друг с другом по абсолютной величине и разница между ними будет равняться нулю. Если же полного совпадения между порядковыми числами вариант (назовем их рангами) не окажется, то разность между ними не превратится в нуль, и по величине этой разности можно будет судить о степени зависимости между Х и У. Существо метода, сводится к расчету рангов, по которым и вычисляется коэффициент ранговой корреляции, называемый просто ранговым коэффициентом. Этот показатель обозначается греческой буквой ро () и определяется по формуле Ч.Спирмена (1904).

(7.6)

где Σ - знак суммирования, d – разность между рангами сопряженных рядов Х и У, n – объем выборки, или число парных наблюдений.

Если ранги рядов по абсолютной величине полностью совпадают друг с другом то и ранговый коэффициент равен единице, что может быть только при полной, функциональной зависимости между переменными Х и у. Если же величины Х и Y изменяются совершенно независимо одна от другой, то зависимость (7.6) равна нулю. Таким образом, как и коэффициент корреляции, ранговый коэффициент изменяется в пределах от нуля до единицы, он выражается в долях единицы и сопровождается всегда одним знаком – либо плюс (при положительной корреляции), либо минус (при отрицательной корреляции) между переменными Х и у.

Ошибка рангового коэффициента вычисляется по следующей формуле:

(7.7)

Расчет рангов не представляет никаких затруднений, если варианты не повторяются. Однако в практике таких случаев, как правило, не встречается. Обычно, значения вариант в большем или меньшем числе повторяются и необходимо определять средние арифметические из этих чисел. Например, имеется следующий ряд ранжированных значений

2, 4, 5, 6, 6, 8, 9.

Если бы варианта 6 не повторялась, ранги этих значений были бы следующими

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

но так как шестерка в этом ряду повторяется дважды, то и ранг ее независимо от местоположения один и тот же – это средняя арифметическая из соответствующих чисел натурального ряда (4+5): 2=4, 5. Методику вычисления рангового коэффициента легче усвоить из соответствующего примера. Изменение затрат в зависимости от объема выпуска продукции, будем ранжировать варианты по ряду Х, т.е. расположим значения объема в возрастающем порядке и определим их ранги. Для удобства порядковые числа вариант запишем в первом столбце расчетной таблицы.

Таблица 7.4. Расчет затрат и объема выпуска продукции

Если бы отдельные варианты не повторялись, их рангами были бы порядковые числа. Но так как некоторые варианты повторяются, например варианты 18 и 19 в ряду Х, то рангами их будут средние арифметические из соответствующих порядковых чисел. Так, для варианты 18 ранг определяется как полусумма порядковых чисел 2 и 3, т.е. (2+3): 2=2, 5. Для следующей варианты 19 ранг выражается полусуммой (4+5): 2=4.5. Таким же образом рассчитываются ранги и по ряду У, как это показано в правой стороне таб-. лице 7.3, и заносятся эти ранги на присущие им в общем строю места. Когда эта наиболее ответственная работа проделана, остается взять разность между рангами, возвести ее в квадрат и просуммировать эту графу. Подставляя найденные значения в формулу Спирмена, находим величину рангового коэффициента:

1- =1- =+0, 67

Простота расчетов при вычислении рангового коэффициента корреляции позволяет широко использовать его в практической работе биологов. Достоинство этого метода заключается в том, что он в равной мере характеризует степень сопряженности между признаками как в случаях прямолинейной, так и в случаях криволинейной корреляции, что выгодно отличает его от других методов определения связи между признаками.

7.4.Регрессионный анализ

В отличие от односторонних связей зависимость между переменными Х и У бывает и двусторонней, т.е. такой, когда величина одного признака изменяется в зависимости от величины другого признака и наоборот. Например, изменение себестоимости продукции от производительности труда.

Динамика взаимной зависимости между переменными величинами получила название регрессия, а методика исследования регрессии носит название регрессионного анализа.

С первого взгляда кажется, что между динамикой рядов развития и рядов регрессии никакой разницы нет. Но это не так. Ряды развития выражают процесс, а регрессия по сути дела отражает лишь динамику связи, существующей между признаками Х и У, и прямого отношения к развитию признаков во времени или в зависимости от других причин не имеет. Поэтому и в методике обработки рядов развития и рядов регрессии существуют различия.

Математически регрессия выражается следующими тремя способами:

1) построением эмпирических рядов и графиков регрессии, которых всегда два: регрессия по У и по Х;

2) уравнениями, позволяющими по эмпирическим данным построить теоретическую, т.е. выровненную, линию регрессии;

3) коэффициентами, дающими суммарную характеристику двусторонней связи. Графически эмпирические регрессии изображаются обычно в виде ломаных линий.

На рис. 7.3 изображена эмпирическая и вычисленная линия регрессии У и Х.

Рис. 7.3. Регрессия: 1 – эмпирическая; 2 - вычисленная

Ряды регрессии выражаются не только графически, но и аналитически при помощи следующих уравнений

уравнение регрессии У по Х; (7.7)

уравнение регрессии Х по У; (7.8)

Здесь и - теоретические, т.е. вычисленные по эмпирическим данным, значения регрессии У/Х и Х/У; У и Х – средние арифметические рядов распределения; R – коэффициент регрессии, который определяется по следующим аналогичным формулам:

- коэффициент регрессии У/Х (7.9)

- коэффициент регрессии Х/У, (7.10)

где а_х = , а а_у = .

Когда в расчет берутся не отклонения вариант от средних арифметических, а конкретные значения переменных величин У и Х, коэффициенты регрессии определяются по следующим формулам

(7.11)

(7.12)

В отличие от уравнений регрессии, характеризующих динамику связи между переменными Х и У, коэффициент регрессии дает лишь суммарную характеристику этой связи; он показывает насколько в среднем изменяется величина одного признака при изменении на какую-то величину другого признака. Поскольку регрессия выражается двусторонне, то и коэффициентов регрессии два: и . Коэффициент регрессии – ценный показатель, суммарной оценки связи между переменными величинами Х и У, рассматриваемыми в их динамике, в процессе развития признаков. Он дает основу точному количественному прогнозу при исследовании зависимых явлений.

Когда известны средние квадратические отклонения варьирующих признаков, т.е. σ _х и σ _у, а также вычислен коэффициент корреляции, коэффициенты регрессии определяются по формулам:

(7.13)

(7.14)

Коэффициент регрессии сопровождается средней квадратической ошибкой, которая вычисляется по следующим формулам:

(7.15)

(7.16)

Критерий достоверности коэффициента регрессии рассчитывается по следующей формуле

(7.17)

Если расчетное значение критерия достоверности окажется больше табличного значения при принятых уровнях значимости и числе степеней свободы, то сомневаться в достоверности коэффициента регрессии не приходится.

7.5.Способ выравнивания эмпирических рядов

Из всех способов выравнивания эмпирических рядов наиболее точен

способ наименьших квадратов. Его предложил К.Гаусе в 1806 г. на том основании, что сумма квадратов отклонений вариант от средней арифметической есть величина наименьшая. Это первая теорема о свойствах средней арифметической. А так как зависимость между переменными Х и У выражается обычно рядом колеблющихся величин, то указанное свойство используется для нахождения наиболее вероятных усредненных значений этих величин. В этом и заключается сущность метода наименьших квадратов, который в равной мере пригоден для выравнивания самых различных зависимостей между переменными величинами и нахождения параметров уравнений, характеризующих эти зависимости. Во всех случаях обработка эмпирических данных по способу наименьших квадратов производится следующим образом:

1. Исходя из геометрического места точек двух переменных У и Х, подбирают соответствующее уравнение, которое достаточно точности выражает зависимость между переменными величинами.

2. В исходное уравнение подставляют попарно эмпирические данные и получают систему нормальных уравнений.

3. Решают совместно полученные уравнения и определяют их параметры.

4. Подставив найденные значения параметров в общее уравнение функции, получают эмпирическое уравнение, выражающее зависимость между переменными Х и У.

5. Подставляя в эмпирическое уравнение значения одной из переменных Х или У, находят соответствующие средние значения другой переменной величины. Таким образом, получается усредненный, или выровненный, ряд значений, называемый также теоретическим рядом развития. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов к различным случаям зависимости между переменными величинами Х и У.

Прямолинейная зависимость

На рисунке 7.1 приведена прямолинейная зависимость между производительностью и стоимостью продукции. Эта зависимость может быть описана формулой прямолинейной зависимостью

С = а*П+в (7.18)

где: С – себестоимость продукции;

П – производительность труда;

а, в – постоянные коэффициенты.

По данным приведенным в таблице.7.1 суммируем значения исходных

величин:

12= а•10+в

10= а•12+в

9= а•13+в

8= а•15+в

6= а*17+в

6= а*20+в

5= а*21+в

4= а*24+в

Сумма 67= а•148+в•9

Суммарное уравнение(7.19) имеет два неизвестных постоянных коэффициента. Для нахождения неизвестных надо еще одно уравнение. Для получения второго уравнения умножаем каждое уравнение(7.17) на соответствующее значение производительности, затем суммируем их и получим второе суммарное уравнение:

120=а•100+в•10

120=а•124+в•12

117=а•169+в•13

120=а•225+в•15

102=а*289+в*17

120=а*400+в*20

105=а*441+в*21

96=а*576+в*24

Сумма 1012=а•2580+в•148

После решения системы уравнений:

1012=а•2580+в•148

были получены значения постоянных коэффициентов:

а=-0, 61 и в=17, 52

и уравнение (7.18) принимает следующий вид:

С = 178, 52 – 0, 63П (7.22)

Рассчитанные по формуле(7.22) значения стоимость показана на рисунке 7.1 (сплошная линия).

Криволинейная зависимость

Аналогичным образом, как и для прямолинейной зависимости, определяются постоянные коэффициенты для уравнений более высокого порядка. В качестве примера рассмотрим расчет постоянных коэффициентов для уравнения изменения стоимости продукции по годам – формула (6.26). Так как в этой формуле 3 постоянных коэффициентов должно быть составлена система из 3^-х уравнений:

x=at²+bt+cn

x³= at²x²+btx²+cx²

Для удобства вычисления следует составить таблицу. По данным приведенным в таблице 6.9 (колонки 1 и 2) составлена следующая вспомогательная таблица(табл. 7.4)

Таблица 7.4. Расчет значений постоянных коэффициентов

С учетом рассчитанных значений показателей (табл. 7.4) система уравнений (7.20) принимает следующий вид:

50, 4=а•55+в•15+5с

196, 18=а•382, 3+в•99, 9+50, 4с (7.24)

1335, 5=а•2724, 4+в•691, 5+196, 18с

В результате решения системы уравнений (7.24) получаем следующие значения постоянных коэффициентов:

а=-0, 16, в=2, 26, с=1, 04

и первое уравнение системы (7.23) принимает следующий вид:

х=-0, 16t²+2.26t+1.04 (7.25)

Рассчитанные по формуле (7.25) значения стоимости продукции приведены в таблице 6.9 (колонка 5) и показаны на рисунке 6.5 (сплошная линия).

Степенная (показательная) зависимость

Степенные функции:

у=аb^х (7.26)

или

у=ае^хb (7.27)

после их логарифмирования принимают следующий вид:

ln y=ln a+x ln b (7.28)

или

ln y=ln a+x b (7.29)

Зависимости (7.28) и (7.29) имеют вид уравнения первого порядка и определение значений постоянных коэффициентов(lna, lnb и b)проводится по методике определение коэффициентов при прямолинейной зависимости.

7.6. Определение показателей при отсутствии аналитических зависимостей

В ряде случаев невозможно установить необходимые зависимости между различными показателями. Например, при весенних заморозках пшеница может вымерзли на части поля. На рисунке 7.4.заштрихована часть показывает участки с вымерзшей пшеницей.

Рис.7.4. Участки поля с вымерзшей пшеницей

В этом случае для определения применяется метод Монте-Карла (метод статистических испытаний). Границы плоских фигур(заштрихованные области) достаточно сложны, чтобы записать аналитические зависимости. Есть возможность определить размеры заштрихованной области следующим образом. При достаточно большом числе случайных точек достаточно подсчитать отношение числа точек, попавших в область заштрихованных фигур к общему числу точек.

В случае приведенном на рисунке 7.4 всего точек:

5*4*10=200,

из них в заштрихованные области попало 76 точек Площадь квадрата составляет 2 гектара, тогда площадь погибшей пшеницы составляет:

Контрольные вопросы

1. Раскройте сущность коэффициента корреляции и укажите область его применения.

2. Раскройте сущность коэффициента корреляционного отношения и укажите область его применения.

3. В каких случаях применяются ранговый коэффициент корреляции? Методика расчета рангового коэффициента корреляцииеляции.

4. В каких случаях применяются регрессионный анализ.

5. Способы выравнивания эмпирических рядов. Способ наименьших квадратов.

8. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАМИРОВАНИЕ

8.1. Общие понятия

Рассмотренные задачи линейного программирования формулировались и решались в предположении наличия полной информации. Их можно отнести к совокупности задач принятия решений условиях определенности. Например, в транспортной задаче издержки с_ij, связанные с доставкой груза от i-го поставщика к потребителю, считались фиксированной величиной. Если x_ij — оптимальное значение переменной, определяющей объем перевозного груза от i-го поставщика к i-му потребителю, то общий вклад в издержки от транспортировки грузов равен произведению с_ij, которая также является фиксированной величиной при заданном значении х_ij. В реальных экономических условиях приходится решать отдельные задачи при ограниченности, неточности исходной информации о самом объекте и внешней среде, в которой он функционирует и развивается.

При принятии управленческих решений о функционировании и развитии экономического объекта необходимо учитывать важную характеристику внешней среды – неопределенность.

Под неопределенностью следует понимать отсутствие, неполноту, недостаточность информации об объекте, процессе, явлений или неуверенность в достоверности информации. В условиях рыночной экономики существует множество источников возникновения неопределенности для различных экономических объектов. Например, к основным источникам возникновения неопределенностям на транспорте можно отнести следующие.

1. Существенная зависимость транспортного процесса от погодных условий. Например: погодные условия могут вызвать непредвиденные последствия в перевозках сельскохозяйственной продукции.

2. Наличие, кроме транспортного предприятия, других участников транспортного процесса - поставщиков грузов, потребителей грузов, ГАИ и др. Результат их влияния на транспортный процесс носит неопределенный и неоднозначный характер.

3. Наличие в работе автотранспорта элементов вероятности на случайности (надежность подвижного состава, неравномерность спроса на транспортные услуги во времени и др.).

4. Недостаточность, неполнота информации об объекте, процессе, явлении, по отношению к которому принимается решение: Я ограниченность в сборе и обработке информации, постоянная ее изменчивость.

5. Наличие в общественной жизни страны противоборствующих тенденций, столкновение противоречивых интересов.

6. Невозможность однозначной оценки объекта при сложившихся в данных условиях уровне и методах научного познания.

7. Относительная ограниченность сознательной деятельности лица, принимающего решение, существующие различия в социально-психологических установках, идеалах, намерениях, оценках, серотипах поведения.

Неопределенность обусловливает появление ситуаций, не имевших однозначного исхода (решения). Среди различных видов ситуаций, с которыми в процессе производства сталкиваются предприятия, особое место занимают ситуации риска.

Под ситуацией риска следует понимать сочетание, совокупность различных обстоятельств и условий, создающих обстановку того или иного вида деятельности. Ей сопутствуют три условия. Это

• наличие неопределенности;

• необходимость выбора альтернативы (отказ от выбора таковых является разновидностью альтернативы);

• возможность оценит вероятность осуществления выбираемых альтернатив.

Таким образом, если существует возможность количественно и качественно определить степень вероятности того или иного варианта, то это и будет ситуация риска.

Для того чтобы снять ситуацию риска, руководители предприятий вынуждены принимать решения и стремиться реализовать их. Этот процесс находит свое выражение в понятии «риск». Несмотря на то что риск объективно присутствует во всех сферах общественной жизни и в большинстве видов управленческой деятельности, обнаруживается, что понятие «риск» до сих пор не получило универсальной трактовки.

Следует упомянуть об экономическом риске применительно к процессам принятия решений в условиях неопределенности и риска, иными словами, в условиях дефицита информации или неуверенности в достоверности информации. В этом случае риск предстает в виде совокупности вероятных экономических, политических, нравственных и других положительных и неблагоприятных последствий, которые могут наступить при реализации выбранных решений. Определим риск как целенаправленные действия, в ходе которых имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения желаемого результата, неудачи и отклонения от цели (положительного или отрицательного свойства).

Процесс установления рыночных отношений в нашей стране порождает различные виды рисковых ситуаций, более того становится необходимым и обязательным компонентом.

Чтобы проиллюстрировать различие между ситуациями приходится принимать решения в условиях риска или в условиях неопределенности, рассмотрим задачу оптимального выбора ассортимента выпускаемой продукции.

В условиях риска доход с_j от реализации единицы продукт не является фиксированной величиной. Напротив, это случайная величина, точное числовое значение которой не известно, но описывается с помощью функции распределения f(с_j). Часть c_jх_j, определяемая продукцией j, также случайная величина даже значение переменной х_j определяющей уровень выпусков продукции j, задано.

В условиях неопределенности функция распределения f_j(c) известна. В действительности неопределенность не означает отсутствия информации о задаче. Например, известно, что может принимать пять значений, но неизвестны вероятности этих значений. Эта ситуация рассматривается как принятие решений в условиях неопределенности.

Таким образом, с точки зрения полноты исходных данных определенность и неопределенность представляют два крайних случая, а риск определяет промежуточную ситуацию, в которой приходится принимать решение.

Степень не информированности данных определяет, каким образом задача формализуется и решается.

При решении задач в условиях неопределенности внешней среды наиболее часто возникают две ситуации. При первой ситуации сама система препятствует принятию решений, например задача составления графика выпуска на работу подвижного состава, занимающегося перевозкой сельхозпродукции, в зависимости oт того будет дождь или нет. В этой задаче природа будет восприниматься как «доброжелательный» противник.

Во второй ситуации возможно наличие конкуренции, когда два (или более) участника находятся в конфликте и каждый стремится как можно больше выиграть у другого (других). Эта ситуация отличается от обычных процессов принятия решений в условиях неопределенности тем, что лицу, принимающему решение, противостоит мыслящий противник. Теория, в которой рассматриваются задачи принятия решений в условиях неопределенности при наличии противника («доброжелательного» или мыслящего), известна как теория игр.

8.2. Теория игр.

Принятия решений в условиях определенности, риска и неопределенности, в которой внешняя среда (природа) предполагалась пассивной, в конфликтных ситуациях имеются противодействующие стороны, интерес которых противоположны. При конфликтных ситуациях решений принимаются в условиях неопределенности двумя и более разумными противниками, каждый из которых стремится оптимизировать свои решения за счет других. Теория, занимающаяся принятием решений и условиях конфликтных ситуаций, называется теорией игр. Математическая модель конфликтной ситуации представляет собой игру.

Игра - это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации. Эти правила устанавливают:

• выбор образа действия игроков на каждом этапе игры;

• информацию, которой обладает каждый игрок при осуществлении таких выборов;

• плату для каждого игрока после завершения любого этапа игры.

Игру можно определить следующим образом:

• имеются n конфликтующих сторон (игроков), принимающих решения, интересы которых не совпадают;

• сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные игрокам;

• определен набор возможных конечных состояний игры (например, выигрыш, ничья, проигрыш);

• всем игрокам (участникам игры) заранее известны платежи, соответствующие каждому возможному конечному состоянию. Платежи задаются в виде матрицы

В зависимости от числа конфликтующих сторон игры делятся на парные (с двумя игроками) и множественные (имеющие не менее трех игроков). Каждый игрок имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных выборов, т. е. стратегий.

Стратегией игры называется совокупность правил, определяющих поведение игрока от начала игры до ее завершения. Стратегии каждого игрока определяют результаты или платежи в игре. Игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого, в противном случае она называется игрой с ненулевой суммой.

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий. Результаты конечной парной игры с нулевой суммой можно задавать матрицей, строкой столбцы которой отсутствуют различным стратегиям, а ее элементы - выигрышам одной стороны (равные проигрышам другой). Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры.

Если первый игрок имеет m стратегий, а второй - n стратегии, то говорят, что мы имеем дело с игрой m_хn. Рассмотрим игру m_хn. Пусть заданы множество стратегий: для первого игрока для второго игрока платежная матрица , где - выигрыш первого игрока или проигрыш второго игрока при выборе ими стратегий А_i, и D_j соответственно. Каждый из игроков выбирает однозначно с вероятностью I некоторую стратегию, т.е. пользуется при выборе решения чистой стратегией. При этом решение игры будет в чистых стратегиях. Поскольку интересы игроков противоположны, то первый игрок стремится максимизировать свой выигрыш, а второй игрок, наоборот, минимизировать свой проигрыш.

Решение игры состоит в определении наилучшей стратегии каждым игроком. Выбор наилучшей стратегии одним игроком проводится при полном отсутствии информации о принимаемом решении вторым игроком. Следует отметить, что и первый, и второй ток являются разумными противниками, которые, находятся в состоянии конфликта. Поэтому для решения игры двух лиц с нулевой суммой используется очень «пессимистичный» критерий, так называемый критерий минм-макса-максимина. Так еслй первый игрок применяет стратегию А_j, то второй будет стремиться к тому, чтобы выбором соответствующей стратегии B_j свести выигрыш первого игрока к минимуму, что равнозначно сведению своего проигрыша к минимуму. Величина этого минимума

(8.1)

Первый игрок (при любых ответах противника) будет стремиться найти такую стратегию, при которой а, обращается в максимум:

(8.2)

Величина называется нижней ценой игры. Ей соответствует максиминная стратегия, придерживаясь которой первый игрок при любых стратегиях противника обеспечит себе выигрыш, не меньший а. Другими словами, нижняя цена игры является гарантированным выигрышем первого игрока при любых стратегиях игрока.

Аналогично определим по каждому столбцу матрицы; найдем минимальное значение :

(8.3)

Величина называется верхней ценой игры. Ей соответствует минимаксная стратегия второго игрока. Величина представляет собой гарантированный проигрыш второго игрока при любой стратегии первого игрока.

Пример 8.4. Дана платежная матрица 3x4, которая определяет выигрыши игрока А. Вычислить нижнюю и верхнюю цены заданной игры.

Решение

Представим кашу игру в виде следующей таблицы:

Стратегии первого игрока, Аi	Стратегии второго игрока, Вj	Значение,
В1	В2	В3	В4
А1 А2 А3 Значение	-		-	-	- -	- -   -

Если игрок А выбирает первую стратегию, он может полупить выигрыш в размере 10, 4, 1 или 7 д. е. в зависимости от выбранной стратегии игроком В. При этом выигрыш игрока будет не меньше д. е. независимо от поведения игрока В. Аналогично при выборе игроком А второй стратегии гарантированный выигрыш д. е. При выборе игроком А третьей стратегии выигрыш д.е.

Таким образом, минимальные значения а_i, i = 1, 3 определяют минимально гарантированный выигрыш для игрока A, если он выбирает соответствующую стратегию i. Величина max а­_i = max{4; 6; l}= 6 д.е. будет гарантированным выигрышем игрока А при любых стратегиях игрока В. Выбранная игроком А вторая стратегия называется максиминной стратегией, а соответствующее ее значение выигрыша а₂ = 6 д. е. будет нижней ценой игры.

Второй игрок стремится минимизировать свой проигрыш. Выбрав первую стратегию , игрок В может проиграть не более чем = max{10; 7; 6} = 10 д. е. независимо от выбора стратегии игроком А. Аналогично рассуждая, получим следующие результаты (д. е.):

Игрок В выбирает стратегию , которая минимизирует его максимальные проигрыши:

д.е.

Величина = 6 д. е. будет гарантированным проигрышем игрока В при любых стратегиях игрока А. Выбранная игроком В вторая стратегия называется минимаксной стратегией, а соответствующее ее значение проигрыша = 6 д. е. будет верхней ценой игры.

Следует отметить, что для любой матрицы выполняется неравенство

(8.5)

Если , т. е. верхняя цена равна нижней цене игры, то соответствующие чистые стратеги называются оптимальными, а про игру говорят, что она имеет седловую точку. Седловая точка является минимальным элементом соответствующей строки и максимальным элементом соответствующего столбца. Эта точка есть точка равновесия игры, определяющая однозначно оптимальные стратегии. Оптимальность здесь означает, что ни один игрок не стремится изменить свою стратегию, так как его противник может на это ответить выбором другой стратегии, дающей худший для первого игрока результат.

Величина С = называется ценой игры. Она определяет средний выигрыш игрока А и средний проигрыш игрока В при использовании ими оптимальных стратегий. В нашем примере цена игры С = 6 д. е., оптимальная пара стратегий - А₂ и В₂.

Если в платежной матрице А все элементы строки А₁ = (а_i1, а_i2,..,, а_in) не меньше соответствующих элементов строки А_k = {а_k1 а_k2, …, a_kn), а по крайней мере один строго больше, то строка А является доминирующей, а строка А_k - доминируемой

Аналогичны понятия «доминирующий столбец» и «доминирующая строка»

Первому игроку невыгодно применять стратегии которые соответствуют доминируемые строки; второму игроку невыгодно менять стратегии, которым соответствуют доминирующие строки. Поэтому при решении игры можно уменьшить размеры платежей матрицы путем удаления из нее доминирующих столбцов и доминируемых строк.

Пример 8.2. Для игры с платежной матрицей

найдите стратегии игроков и цену игры.

Решение.

Элемент а₃₂ = -1 является наименьшим в третьей строке и наибольшим во втором столбце, т.е. он является седловой точкой. Поэтому цена игры С= - 1, а оптимальные стратегии игрока первого – А_3­, а второго – В₂.

Используя понятия доминирующих строк и доминирующих столбцов, задачу можно решить следующим образом.

В матрице А третья строка доминирует над второй, поэтому вторую можно изъять из платежной матрицы. В результате получится матрица

В матрице А₁ первый и третий столбцы доминируют над вторым, следовательно, их можно изъять. В результате платежная матрица принимает вид

В матрице А₂ вторая строка доминирует. После вычеркивания получится матрица А₃, состоящая из одного элемента:

А₃=(-1)

Элемент матрицы А₃ и определяет решение нашей задачи.

Отдельные игры могут не иметь седловых точек, т. е. у каждого игрока не существует единственной, наиболее надежной стратегии. В этом случае используют смешанную стратегию. Смешанная стратегия состоит в том, что в ходе игры происходит случайный выбор стратегии из некоторого множества смешанных стратегий и для каждой, смешанной стратегии указывается вероятность ее выбора. Смешанная стратегия для игрока А представляет собой вектор

(8.6)

где Р_i- — вероятность выбора i-Й стратегии игроком и удовлетворяет следующим условиям:

(8.7)

Аналогично смешанная стратегия игрока В представляет собой вектор

(8.8)

где q_j — вероятность выбора j-й стратегии игроком В - удовлетворяет следующим условиям;

(8.9)

Платежная матрица игры имеет следующий вид: (8.10)

А В	q1	q2	q3	…	qn
P1 P2 P3­ Pm	a11 a21 a31 am1	a12 a22 a32 am2	a13 a23 a33 am3	… … …   …	a1n a2n a3n amn

Игрок А выбирает стратегию Р_i, так, чтобы максимизировать наименьший ожидаемый выигрыш по столбцам платежной матрицы, тогда как игрок В выбирает стратегию q_j с целью минимизировать наибольший ожидаемый проигрыш подстрокам. Математический критерии минимакса при смешанных стратегиях может быть описан следующим образом. Игрок А выбирает стратегию Р_i, дающая

(8.10)

Игрок В выбирает стратегию q_j дающую

(8.11)

Когда стратегии и оптимальны, то выполняется строгое равенство между максиминным ожидаемым выигрышем и минимаксным проигрышем, а результирующее значение равно оптимальному (ожидаемому) значению игры.

Теорема утверждает, что выражения (8.10 и 8.11) имеют одно и то же значение M(P₀, Q₀), называемое ценой игры. Если и - оптимальные решения для обоих игроков, каждому элементу платежной матрицы а_ij соответствует вероятность * . Следовательно, оптимальное ожидлаемое значение игры

(8.12)

Цена игры заключена между нижней и верхней ценами, т. е.

Решить конечную игру - это значит нужно найти векторы Р и Q (оптимальные стратегии), удовлетворяющие теореме о минимаксе, а следовательно, получить, величину ожидаемого платежа М(Р₀, Q₀) - цену игры.

Свойство оптимальности означает, что любое отступление одного из игроков от оптимальной стратегии (при условии, что второй игрок продолжает придерживаться своей оптимальной страте-1ии) при многократном повторении игры может только уменьшить его средний выигрыш (увеличить средний проигрыш).

Решение игры обладает одним важным свойством: если игрок А использует свою оптимальную стратегию, а игрок В смешивает свои стратегии в любых пропорциях, то средний выигрыш игрока А не уменьшается. Стратегии, которые смешиваются для получения оптимальной стратегии, будем называть полезными. Доказано, что у игры m х n существует такое оптимальное решение, что число полезных стратегий с каждой стороны не превосходит минимального из чисел тип. Известно несколько методов нахождения оптимальных стратегий в играх двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим один из методов - метод линейного программирования для нахождения решения игр.

Пусть игра m х n не имеет оптимального решения непосредственно в чистых стратегиях, т. е. отсутствует седловая точка (). Оптимальное решение необходимо искать в области смешанных стратегий. Предположим, что все m стратегий игрока А полезные. Определим вероятности их применения в смешанной оптимальной стратегии. Обозначим эти вероятности через P_i, i = , а цену игры - через М. Оптимальная смешанная стратегия игрока А определяется из условия (8.10)

Пусть

Поскольку при оптимальной стратегии средний выигрыш не меньше М при любой стратегии противника, то справедлива система n неравенств: