Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Способ почленного логарифмирования.
|
|
Пример 4. Решим уравнение: 
Решение. Перепишем это уравнение в следующем виде: 
или 
Теперь почленно прологарифмируем это уравнение по основанию 2:
. Применяем свойства логарифмов: 
Решаем это уравнение способом введения новой переменной. Получаем:
1) log2 х = 3, х1 = 8; 2) log2 х = -1, х2 = 
.
Выполняем проверку:
1) 
2) 
Ответ: 8; 
.
5. В практике встречаются логарифмические уравнения, содержащие логарифмы с разными основаниями. В таких случаях применяется формула перехода к новому основанию:
Пример 5. Решим уравнение: 
Решение. ОДЗ: 
Используем формулу перехода к новому основанию: 
тогда данное
уравнение имеет вид: 
или 
Тогда: 
откуда получаем, что х = 2.
Ответ: 2.
6. Показательно-логарифмические уравнения.
Чаще всего такие уравнения решаются способом логарифмирования обеих частей уравнения и приведением к логарифмическим уравнениям.
Пример 6. Решим уравнение: 
Решение. Перепишем это уравнение в виде: 
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством 
, имеем: 
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: 
Тогда
откуда: 
и 
или х1 = 
и х2 = 9.
Проверка: 
Ответ: 
При решении систем логарифмических уравнений в основном применяются те же способы, что и при решении систем алгебраических уравнений (способы подстановки, алгебраического сложения, введения новых переменных и др.)
Пример 6. Решим систему уравнений: 
Решение. Для первого уравнения применяем свойства показательной функции, а второе
уравнение потенцируем: 
Введем новые переменные:
получим систему рациональных уравнений: 
Решаем систему методом подстановки, получаем: а = 5 и b= 6. Тогда: 
или х = 25 и у = 36.
Проверка: 
Вывод: пара чисел (25; 36) действительно является решением системы.
Ответ: (25; 36).
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
- Решите логарифмические уравнения:
- Решите системы логарифмических уравнений:
Тема: ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим неравенством.
Всякое значение переменной, при котором данное логарифмическое неравенство обращается в
верное числовое неравенство, называется решением логарифмического неравенства.
Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенств вида
или 
Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и ее свойства, применяют следующие утверждения:
1) при а > 1 неравенство равносильно системе неравенств:
(1)
2) при 0< а < 1 1 неравенство равносильно системе неравенств:
(2)
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Решим неравенство 
Решение. Преобразуем правую часть неравенства: 
Здесь а = 
, поэтому
используем систему неравенств вида (2): 
или 
Решением последней системы будет промежуток 
Ответ:
Пример 2. Решим неравенство 
Решение. Используем свойства логарифмов: 
В полученном неравенстве а = 10 > 1, поэтому используем систему неравенств вида (1):
отсюда: 
Изображая решение каждого неравенства системы по отдельности накоординатной прямой, находим общую часть – промежуток 
Ответ:
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
- Решите логарифмические неравенства:
ТЕСТ № 1
| 1. | Вычислите: 
|
| |
| 2. | Найти значение выражения: 
|
| |
| 3. | Решите уравнение: 
|
| |
| 4. | Решите неравенство: 
|
| |
| 5. | Решить систему уравнений 
|
| |
| 6. | Решите уравнение: 
|
| |
| 7. | Найдите произведение корней уравнения 
|
| |
| 8. | Решите неравенство: 
|
| |
| 9. | Решите неравенство: 
|
| |
| 10. | Решить систему уравнений: 
|
|
ТЕСТ № 2
| 1. | Вычислите: 
| |
| ||
| 2. | Используя определение и свойства логарифмов, найдите значение выражения:
| |
| ||
| 3. | Решите уравнение: 
| |
| ||
| 4. | Решить неравенство: 
| |
| ||
| 5. | Решить систему уравнений 
| |
| ||
| 6. | Решите уравнение: 
| |
| ||
| 7. | Найдите произведение корней уравнения: 
| |
| ||
| 8. | Решите неравенство: 
| |
| ||
| 9. | Решите неравенство: 
| |
| ||
| 10. | Решить систему уравнений 
| |
|
ТЕСТ № 3*
| 1. | Найти значение выражения: 
|
| |
| 2. | Чему равно выражение: 
|
| |
| 3. | Решите уравнение: 
|
| |
| 4. | Решите уравнение: 
|
| |
| 5. | Решить систему неравенств: 
|
| |
| 6. | Найдите  где х – это корень уравнения 
|
| |
| 7. | Вычислите: 
|
| |
| 8. | Решите уравнение: 
|
| |
| 9. | Решите неравенство: 
|
| |
| 10. | Решить систему неравенств: 
|
|
ОТВЕТЫ:
Тема: ЛОГАРИФМ ЧИСЛА.
|
|