Методы факторного анализа

Методы факторного анализа — это различные способы получения факторной структуры при заданном числе факторов. Эти способы, как уже гово­рилось, отличаются решением проблемы общностей. Рассмотрим наиболее часто применяемые методы: анализ главных компонент, метод главных факторов, факторный анализ образов (общности равны квадрату КМК), метод не взвешенных наименьших квадратов, обобщенный метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия.

Анализ главных компонент (Principal Components) иногда используется в ка­честве факторного анализа, хотя это и не вполне корректно. При использова­нии этого метода общность каждой переменной получается автоматически, путем суммирования квадратов ее нагрузок по всем главным компонентам. Вопрос о приближении восстановленных коэффициентов корреляции к ис­ходным корреляциям не решается. В результате факторная структура иска­жается в сторону преувеличения абсолютных величин факторных нагрузок.

Факторный анализ образов (общности равны квадрату КМК) (Image Facto­ring) — это метод главных компонент, применяемый к так называемой реду­цированной корреляционной матрице, у которой вместо единиц на главной диагонали располагаются оценки общностей. Общность каждой переменной оценивается предварительно, как квадрат коэффициента множественной корреляции (КМК) этой переменной со всеми остальными. Такая оценка, с точки зрения теоретиков факторного анализа, приводит к более точным результатам, чем в анализе главных компонент. Но значения общностей недооцениваются, что также приводит к искажениям факторной структуры, хотя и меньшим, чем в предыдущем случае.

Метод главных осей (Principal Axis Factoring), позволяет получить более точ­ное решение. На первом шаге общности вычисляются по методу главных ком­понент. На каждом последующем шаге собственные значения и факторные нагрузки вычисляются исходя из предыдущих значений общностей. Окончательное решение получается при выполнении заданного числа итераций или достижении минимальных различий между общностями на данном и преды­дущем шагах.

Метод не взвешенных наименьших квадратов (Unweighted least squares) — минимизирует квадраты остатков (разностей) исходной и воспроизведенной корреляционных матриц (вне главной диагонали). На первом шаге оценива­ются общности через квадрат КМК. Затем вычисляется факторная структура и восстанавливаются коэффициенты корреляции. Проверяется разность квад­ратов исходных и вычисленных корреляций. За новые значения общностей принимаются вычисленные по полученной факторной структуре. На втором шаге вычисляется новая факторная структура, и снова проверяется соответ­ствие исходных и восстановленных коэффициентов корреляции. Процесс повторяется многократно до тех пор, пока не достигается минимально воз­можная разница между исходными и вычисленными корреляциями при заданном числе факторов. Метод, по определению, дает минимальные ошибки факторной структуры при фиксированном числе факторов. Реализация ме­тода в компьютерных программах позволяет проверить расхождения между исходными и вычисленными корреляциями. Наличие многочисленных расхождений может служить дополнительным аргументом в пользу увеличения числа факторов.

Обобщенный метод наименьших квадратов (Generalized least squares) — отли­чается от предыдущего тем, что для каждой переменной вводятся специаль­ные весовые коэффициенты. Чем больше общность переменной, тем в боль­шей степени она влияет на факторную структуру (имеет больший вес). Это соответствует основному принципу статистического оценивания, по которо­му менее точные наблюдения учитываются в меньшей степени. В этом — ос­новное преимущество этого метода перед остальными.

Метод максимального правдоподобия (Maximum likelihood) также направлен на уменьшение разности исходных и вычисленных корреляций между при­знаками. Дополнительно этот метод позволяет получить важный показатель полноты факторизации — статистическую оценку «качества подгонки». Ме­рой качества является оценка различия исходных и вычисленных коэффици­ентов корреляции по -критерию, значимость которого определяется в за­висимости от числа факторов и количества переменных. Если критерий показывает значимое отклонение при М -факторной модели, следует перейти к модели с М +1 факторами, и так до тех пор, пока отклонение исходных и вы­численных корреляций перестанет быть статистически значимым по -кри­терию. Таким образом, -критерий позволяет определить минимально допу­стимое количество факторов для данного числа переменных. Однако следует помнить, что этот критерий, как и остальные формальные критерии, являет­ся дополнительным. Окончательное же решение о числе факторов принима­ется после содержательной интерпретации факторной структуры.

Вряд ли возможно дать общие рекомендации о преимуществе или недостатке того или иного метода. Можно лишь отметить, что анализ главных ком­понент дает наиболее грубое решение, а метод максимального правдоподобия позволяет статистически оценить минимально возможное число факторов для данного набора переменных. По-видимому, в каждом конкретном случае стоит сравнивать результаты применения разных методов и выбирать тот, ко­торый позволяет получить наиболее простую и доступную интерпретации факторную структуру.