Anova с повторными измерениями

Рассмотренные ранее варианты ANOVA применяются, когда разным градациям изучаемых факторов соответствуют разные группы объектов (испытуемых). Однако часто используются планы исследования, когда разным градациям фактора соответствует одна и та же группа объектов (зависимые выборки), В соответствии с этим различают межгрупповые и внутригрупповые факторы. Разным градациям межгруппового фактора (Between-subject Factor) соответствуют разные группы объектов, а разным градациям внутригруппового фактора (Within-subject Factor) соответствует одна и та же группа объектов (или зависимые выборки).

ANOVA с повторными измерениями (Repeated Measures ANOVA или GLM Repeated Measures) применяется, когда по крайней мере один из факторов изменяется по внутригрупповому плану, то есть разным градациям этого фактора соответствует одна и та же выборка объектов (испытуемых). Конечно, эти вы­борки можно рассматривать как независимые и применять обычный вариант ANOVA. Но ANOVA с повторными измерениями имеет в этом случае суще­ственное преимущество: он позволяет исключить из общей дисперсии данных ту ее часть, которая обусловлена индивидуальными различиями в уровне за­висимой переменной. За счет этого метод оказывается более чувствительным к влиянию изучаемых факторов и позволяет с большей надежностью обнару­живать их эффекты.

Таким образом, специфика ANOVA с повторными измерениями заключается в том, что из остаточной изменчивости (внутригрупповой) вычитается компонент, обусловленный индивидуальными различиями. Тем самым умень­шается дисперсия ошибки факторной модели и повышается чувствительность метода к воздействию факторов на зависимую переменную. В остальном, в частности — в отношении проверяемых гипотез, данный вариант ANOVA сохраняет сходство с рассмотренными выше методами ANOVA.

Структура исходных данных: градациям внутригруппового фактора соот­ветствует неоднократное измерение зависимой переменной для одной и той же группы объектов. Допускается наличие межгрупповых факторов, а также нескольких внутригрупповых факторов.

ПРИМЕР

Изучалось влияние интонации на запоминание слов. В качестве материала исполь­зовался список из 24 не связанных по смыслу слов одинаковой длины и частоты встречаемости. Одной группе испытуемых весь список читался с неизменной ин­тонацией, а другой — с интонационным выделением серединной восьмерки слов. Зависимой переменной выступало количество правильно воспроизведенных испы­туемыми слов: из первых восьми слов ряда, из серединной и из последней восьмер­ки слов. Предполагалось, что во второй группе будет менее выражен эффект конца и начала ряда, то есть лучше запомнится интонационно выделенная середина ряда. Таким образом, план эксперимента включал 2 фактора: фактор А (внутригруппо­вой) — часть ряда (три градации); фактор В (межгрупповой) — интонационное вы­деление (две градации).

Таблица исходных данных:

Так же, как и в случае двух межгрупповых факторов, ANOVA с одним меж­групповым и одним внутри групповым факторами позволяет проверить три гипотезы: а) эффект внутригруппового фактора А; б) эффект межгруппового фактора В; в) эффект взаимодействия факторов А В.

Исходные предположения и, соответственно, ограничения на применение ANOVA с повторными измерениями зависят от того, какая из двух моделей используется: одномерная или многомерная. Одномерная модель основана на предположении, что каждому уровню внутригруппового фактора соответствует повторное измерение одной и той же зависимой переменной (следовательно, эти измерения положительно коррелируют). Многомерная модель свободна от допущения о коррелированности измерений зависимой переменной. Общим для той и другой модели является исходное допущение о том, что множество измерений зависимой переменной для каждого испытуемого является выбор­кой из многомерного нормального распределения.

Одномерный подход (Univariate approach) основан на применении F -отношения, свойственного и другим методам ANOVA. Однако его применение огра­ничено так называемым допущением о сферичности ковариационно-дисперси­онной матрицы. Это допущение подразумевает, во-первых, что дисперсии зависимой переменной для разных уровней внутригруппового фактора не от­личаются; во-вторых, корреляции между повторными измерениями есть, и они положительны. Для проверки этого предположения в компьютерных програм­мах используется тест сферичности ковариационно-дисперсионной матрицы Моучли (Mauchly's Test of Sphericity). Если тест Моучли показывает статистиче­ски достоверный результат, то предположение о сферичности считается оши­бочным, и одномерный подход неприменим. Однако на небольших выборках тест сферичности Моучли имеет малую чувствительность, а для больших выбо­рок даже небольшие отклонения от сферичности дают статистически значи­мые результаты. При нарушении допущения о сферичности компьютерные программы предлагают специальную поправку (эпсилон-коррекцию, Epsilon Corrected) числа степеней свободы и, соответственно, уровня значимости.

Если предположение о сферичности не отклоняется (результат теста Моучли статистически не достоверен), то более предпочтительным является одномерный подход, как более чувствительный к действию внутригруппового фактора. Если предположение о сферичности отклоняется (результат теста Моучли статистически достоверен), то можно воспользоваться поправками, предлагаемыми компьютерной программой (эпсилон-коррекция). Но более корректно применить многомерный подход.

Многомерный подход (Multivariate approach) свободен от предположения о сферичности, свойственного одномерному подходу. В этом случае используется не F-критерий, а многомерные тесты, наиболее распространенные из ко­торых «След Пиллая» (Pillai's Trace) и « -Вилкса» (Wilks' Lambda). При исполь­зовании межгрупповых факторов дополнительно проверяется допущение об идентичности ковариационно-дисперсионных матриц, соответствующих раз­ным уровням межгрупповых факторов. Это Допущение аналогично требова­нию однородности дисперсии в ANOVA с межгрупповыми факторами, но для его проверки в ANOVA с повторными измерениями обычно используется М-тест Бокса (Box's M-test). Если М -тест Бокса показывает статистически зна­чимый результат, То дисперсионно-ковариационные матрицы не идентичны, и применение многомерного подхода в этом случае не корректно.

Последовательность ANOVA с повторными измерениями рассмотрим сна­чала на примере с одним внутригрупповым фактором. Общая изменчивость зависимой переменной (SS_total) в этом случае раскладывается на три составляющие:

где SS_F— факторная изменчивость (между уровнями); SS_I — межиндивидуальная изменчивость (между средними для каждого объекта — испытуемого); SS_er — остаточная изменчивость (ошибка).

ПРИМЕР 13.8

Предположим, изучается эффективность воспроизведения предъявленного ряда из 24 не связанных по смыслу слов. Исследователя интересует, будет ли в этом слу­чае проявляться эффект начала и конца ряда. Соответственно, для каждого испы­туемого подсчитывалась частота воспроизведения слов из первой, второй и тре­тьей части ряда. Всего в эксперименте участвовало 5 человек. Исходные данные представлены в таблице:

Число объектов (испытуемых): N= 5.

Число градаций внутригруппового фактора А: k = 3.

Шаг 1. Подсчитываем общую сумму квадратов.

Шаг 2. Подсчитываем факторную сумму квадратов — между уровнями.

Шаг 3. Подсчитываем межиндивидуальную сумму квадратов.

Шаг 4. Подсчитываем остаточную сумму квадратов.

Шаг 5. Определяем числа степеней свободы для сумм квадратов:

Ø для общей: df_total =N – k – 1 = 5 * 3 – 1 = 14;

Ø для фактора: df_F = k – 1 = 3 – 1 = 2;

Ø для остаточной: df_er = (N – 1)(k – 1) = 8.

Шаг 6. Вычисляем средние квадраты.

Шаг 7. Вычисляем эмпирическое значение F- отношения:

Шаг 8. Определяем р -уровень значимости для F -отношения. Для этого сравнива­ем эмпирическое значение F -отношения с критическими (табличными) для соот­ветствующих чисел степеней свободы по таблице критических значений F -распре­деления для проверки направленных альтернатив (приложение 3).

Представим результаты в виде таблицы:

Шаг 9. Принимаем статистические решения и формулируем содержательные вы­воды. Н₀ на уровне = 0, 05 отклоняется. Обнаружено статистически достоверное влияние фактора положения слова в ряду на его запоминание (р < 0, 05).

Заметим, что если в последнем примере рассматривать повторные измере­ния как независимые группы и провести однофакторный ANOVA (с межгруп­повым фактором А), то статистически значимое влияние фактора обнаружено не будет — индивидуальные различия между испытуемыми «перекроют» фак­торный эффект.

Двухфакторный ANOVA с повторными измерениями по одному из факторов (с одним внутригрупповым и одним межгрупповым факторами) позволяет проверить три гипотезы: а) о влиянии внутригруппового фактора; б) о влия­нии межгруппового фактора; в) о взаимодействии внутригруппового и меж­группового факторов (о зависимости влияния межгруппового фактора от уровней внутригруппового фактора — или наоборот).

Этот вариант ANOVA имеет свою специфику, связанную с выделением со­ставных частей общей изменчивости зависимой переменной. Рассмотрим соотношение различных источников изменчивости на примере исследования влияния интонации на запоминание ряда слов.

ПРИМЕР 13.9

В эксперименте участвовало 2 группы испытуемых (фактор А — межгрупповой, два уровня): 1 — все 24 слова ряда предъявлялись c одинаковой интонацией; 2 — сере­динная восьмерка из того же предъявляемого ряда слов интонационно выделялась. Для каждого испытуемого измерялось по три показателя зависимой переменной — количества воспроизведенных слов (фактор В — внутригрупповой, три градации): из первой, второй и третьей восьмерки предъявленных слов.

Результаты эксперимента представлены в таблице:

Испытуемый	Фактор А (Уровень 1)	Средние	Испытуемый	Фактор А (Уровень 2)	Средние
				4, 33					4, 00
				5, 00					4, 67
				5, 67					5, 33
				6, 33					6, 00
				3, 67		2.			3, 33
Средние:				МA1 = 5	Средние:				МA2 = 4, 67
МB1 = 4, 5; МB2 = 5; МB3 = 5
М = 4, 833; = 2, 075

Модель двухфакторного ANOVA с межгрупповым и внутригрупповым фак­торами предполагает разделение общей изменчивости данных на две состав­ляющие: а) изменчивость между объектами или межиндивидуальная измен­чивость (SS_bs); б) внутригрупповая изменчивость (SS_wg).

Межиндивидуальная изменчивость состоит из изменчивости между града­циями межгруппового фактора (SS_A) и изменчивости между испытуемыми внутри этих градаций (SS_IWG), или, что то же самое, из изменчивости средних значений для каждого испытуемого относительно общего среднего.

или

где n — численность объектов в одной градации межгруппового фактора; k — число градаций межгруппового фактора; l — число градаций внутригруппового фактора. SS_IWG — это мера ошибки межгрупповой факторной модели, или фактора В.

Внутригрупповая изменчивость — это сумма трех составляющих изменчи­вости: а) под влиянием внутригруппового фактора В (SS_B); б) под влиянием взаимодействия межгруппового и внутригруппового факторов (SS_AB); в) ос­таточной внутригрупповой изменчивости — ошибки модели (SS_erB).

SS_B вычисляется как сумма квадратов, обусловленная различиями l средних значений (для градаций внутригруппового фактора) относительно общего среднего значения. SS_AB вычисляется как сумма квадратов, обусловленная различиями k l средних относительно общего среднего.

ПРИМЕР 13.9 (продолжение)

Ш а г 1. Вычисляем SS_total, SS_A, SS_bs и SS_wg:

Шаг 2. Вычисляем SS_B и SS_AB:

Ш а г 3. Вычисляем остаточную сумму квадратов SS_erB:

Ш а г 4. Определяем числа степеней свободы:

Ш а г 5. Вычисляем средние квадраты:

Ш а г 6. Вычислим F -отношения.

Ш а г 7. Определяем уровень значимости и представляем результаты в виде таблицы:

Источник изменчивости	Сумма квадратов (SS)	df	Средний квадрат (MS)	F	p -уровень
Фактор А	0, 833		0, 833	0, 25	> 0, 05
Фактор В	1, 67		0, 833	1, 43	> 0, 05
А В	21, 67		10, 84	18, 57	< 0, 01
Ошибка межгруп­повая	26, 67		3, 33	—	—
Ошибка внутригрупповая	9, 33		0, 58	—	—

Шаг 8. Принимаем статистические решения и формулируем выводы. Н₀ отклоня­ется только в отношении взаимодействия факторов. Обнаружено взаимодействие интонационного выделения и положения слова в ряду (р < 0, 01): влияние интонаци­онного выделения середины ряда на эффективность воспроизведения слов зависит от того, в какой части ряда находятся слова. График средних значений позволяет дать более детальную интерпретацию взаимодействия: середина ряда при интона­ционном выделении запоминается лучше краев ряда, а без интонационного выделе­ния — наоборот: слова в начале и конце ряда запоминаются лучше, чем в середине ряда.

FACTOR В