Более двух градаций

Как и в предыдущем случае, при сопоставлении нескольких градаций чаще всего проверяют гипотезу о том, различаются ли по численности соответству­ющие доли совокупности. Это соответствует задаче сопоставления эмпири­ческого и равномерного теоретического распределения. Но ожидаемое (тео­ретическое) распределение может быть и любым другим: последовательность решения при этом не меняется. Для проверки подобных гипотез применяют критерий χ ²-Пирсона (формула 9.1), который еще называют критерием согла­сия (эмпирического и теоретического распределений),

ПРИМЕР 9.3 _________________________________________

С целью предсказания результатов выборов исследовалось предпочтение потен­циальными избирателями пяти политических лидеров. По результатам опроса ре­презентативной выборки из 120 респондентов была составлена таблица распреде­ления их предпочтений:

Можно ли утверждать, что в совокупности всех потенциальных избирателей на­блюдаются существенные различия в соотношении предпочтений пяти политичес­ких лидеров? Иначе говоря, отличается ли распределение предпочтений потенци­альных избирателей от равномерного распределения?

Отметим, что в отношении данной группы респондентов ответ очевиден: да, пред­почтении распределены явно не равномерно. Но вопрос при статистической про­верке формулируется иначе: можно ли распространить этот вывод на генеральную совокупность, из которой извлечена данная выборка респондентов? Поскольку N> 100, выбираем для принятия статистического решения α = 0, 01.

Н₀: эмпирическое распределение соответствует теоретическому равномерному рас­пределению. Задача сводится к сопоставлению эмпирического распределения с идентичным по общей численности, но равномерным теоретическим (ожидаемым) распределением:

По формуле 9.1 число слагаемых Р= 5, k= 5, l= 2, df = 4.

χ ²_Э=(21-24)² /24 + (37-24)² /24+(29-24)² /24 + (15-24)² /24+ (18-24)² /24=13, 333.

По таблице критических значений теоретического распределения χ ²-Пирсона (При­ложение 4) для df= 4 видим, что наше эмпирическое значение χ ²_э меньше критичес­кого значения для р = 0, 01. Следовательно, в соответствии со схемой определения р- уровня для данного случая p< 0, 01, Так как p< α, то принимаем статистическое решение: отклоняется нулевая гипотеза о соответствии распределения предпочтений в генеральной совокупности равномерному распределению. Таким образом, коррек­тен следующий содержательный вывод: обнаружены различия в предпочтениях потен­циальными избирателями пяти политических лидеров (р < 0, 01).

Отметим, что в этом случае, отклоняя Н₀, мы принимаем альтернативную гипотезу о том, что распределение предпочтений является неравномерным. Но альтернативная гипотеза не содержит и не может содержать утверждения о том, что в какой-то конкретной ячейке наблюдений больше, а в какой-то мень­ше. Любая конкретизация этого утверждения будет некорректной. Для утвер­ждений о том, что в какой-то ячейке (градации) наблюдений больше или мень­ше, необходима дополнительная статистическая проверка.

Например, на первый взгляд справедливое утверждение о том, что лидер № 2 пред­почитается чаще, чем лидер № 3 (пример 9.3), при дополнительной статистичес­кой проверке не подтверждается. Сравнение распределения 37: 29 с ожидаемым рав­номерным распределением 33: 33 дает; χ ²_Э= 0, 970; df= 1, Величина эмпирического ' значения критерия меньше критического значения для df= 1, р=0, 1 (эмпиричес­кое значение располагается левее критического значения критерия для р = 0, 1). Следовательно, в данном случае р > 0, 1, Н₀ не отклоняется: не обнаружены разли­чия и предпочтениях двух политических лидеров (р > 0, 1).

Подобная проблема множественных сравнений возникает всегда, если нуле­вая гипотеза содержит утверждение о равенстве более чем двух величин. При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза, содержащая изрядную долю неопределенности: сравниваемые величины не тождественны. Для конкретизации этого утверждения необходимы, как правило, парные сравнения величин, в отношении которых проверяется гипотеза.

Обработка на компьютере: критерий согласия χ ²

Исходные данные; значения номинативной переменной (более 2-х градаций) определены для каждого члена выборки и представлены одним столбцом.

Выбираем: Аnа1уzе (Метод) > Nоnрагаmеtric tests... (Непараметрические ме­тоды) > Сhi-squаrе... (Хи-квадрат). В открывшемся окне диалога переносим не­обходимую переменную из левого в правое окно (Test Variable List), перемен­ных может быть несколько.

Если теоретическое распределение является равномерным, то нажимаем ОК и получаем результаты.

Если теоретическое распределение не является равномерным, то необходимо задать ожидаемые (теоретические) пропорции (доли) для каждой градации (сумма долей должна быть равна 1). Для этого вместо Ехресted Vаlues: Аll саtеgоriеs еquа1 (Ожидаемые значения: все категории тождественны) отмеча­ем точкой Ехресted Vаlues: Vаlues (Значения). После этого вводим ожидаемую долю для наименьшей категории, затем нажимаем Аdd (Добавить), затем вво­дим долю для наименьшей из оставшихся категорий, и т. д. — до последней категории. Последовательность значений долей появится в нижнем окне. На­жимаем ОК и получаем результаты.

Результаты (для данных примера 9.3)

А) Таблица частот

var

- эмпирические частоты, Ехресtеd — теоретические частоты.

В) Результаты статистической проверки (Теst statistics):

Теst statistics

а 0 cells (.0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frecuency is 24.0.

Сhi-squаrе — значение χ ²_Э; Аsуmр. Sig. — p-уровень значимости.