Коэффициент корреляции т-Кендалла

Альтернативу корреляции Спирмена для рангов представляет корреляция х-Кендалла. В основе корреляции, предложенной М. Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между со­бой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по ^совпадает по на­правлению с изменением по Y, то это свидетельствует о положительной свя­зи, если не совпадает — то об отрицательной связи.

В примере 6.3 данные испытуемых 1 и 2 свидетельствуют об отрицательной связи — мы видим инверсию; по переменной Л'у второго испытуемого ранг больше, а по переменной. Y— меньше. Данные испытуемых 2 и 3, напротив, демонстрируют со­впадение направления изменения переменных.

. Корреляция т-Кендалла есть разность относительных частот совпадений и инверсий при переборе всех пар испытуемых в выборке:

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

где Р(р) и P{q) — относительные частоты, соответственно, совпадений и ин­версий. Всего в выборке численностью N существует N(N— 1)/2 всех возмож­ных пар испытуемых. Следовательно,

- ^ (6.7,

N(N-

где Р — число совпадений, Q — число инверсий, а (Р+ Q) Формулу 6.7 можно представить и в ином виде:

—1.

(6.8)

_ f-Q _₁ 4Q _ 4? ^Х P+Q~

N(N-l) N{N-\) При подсчете т-Кендалла «вручную» данные сначала упорядочиваются по переменной X. Затем для каждого испытуемого подсчитывается, сколько раз его ранг по доказывается меньше, чем ранг испытуемых, находящихся ниже. Результат записывается в столбец «Совпадения». Сумма всех значений столб-, ца «Совпадения» и есть Р — общее число совпадений, подставляется в фор­мулу 6.8. для вычисления т-Кендалла.

ПРИМЕР 6.5

Вычислим т-Кендалла для данных из примера 6.4. Сначала предварительно упоря­дочиваем испытуемых по переменной X. Затем подсчитываем число совпадений и инверсий для каждого испытуемого, сравнивая по Y его ранг с рангами испытуе­мых, находящихся под ним. Так, для первого испытуемого ранг по Y равен 6, и 6 ис­пытуемых, находящихся ниже него, имеют по У более высокий ранг: в столбец «Совпадения» записываем 6. Для третьего по счету испытуемого ранг по Y равен 8, трое испытуемых ниже него имеют более высокий ранг, значит, в столбец «Совпа­дения» записываем 3, и т. д.

12x11/2 = 66.

Проверяем правильность подсчета PnQ.P+Q = 66; N(N-\)/2 >

т=-

■ ■ -0, 455.

18-48

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Для более полной интерпретации полезны соотношения между величи­ной т-Кендалла и вероятностью отдельно совпадений и инверсий:

вероятность совпадений Р(р) = —г~;

Х

вероятность инверсий P(q) = 1 - Р(р) * —г— •

j*

Так, т = 0, 5 значит, что вероятность совпадений равна 0, 75, а вероятность инвер­сий — 0, 25, то есть при сравнении объектов друг с другом прямо пропорциональ­ное соотношение (например, роста и веса) встречается в 3 раза чаше, чем обратно пропорциональное соотношение. Такая интерпретация кажется более понятной, чем, например, интерпретация корреляции Пирсона г— 0, 5: «25% изменчивости в весе могут быть объяснены различиями в росте».

т-Кендалла кажется более простым в вычислительном отношении. Одна­ко при возрастании численности выборки, в отличие от r-Спирмена, объём вычислений т-Кендалла возрастает не пропорционально, а в геометрической прогрессии. Так, при N=* 12 необходимо перебрать 66 пар испытуемых, а при N** 48 — уже 1128 пар, т. е. объем вычислений вбзрастает более, чем в 17 раз.

Отметим важную особенность ранговых коэффициентов корреляции. Для метрической корреляции г-Пирсона значениям +1 или -1 соответствует пря­мая или обратная пропорция между переменными, что графически представ­ляет собой прямую линию. Максимальным по модулю ранговым корреляци­ям (+1, —1) вовсе не обязательно соответствуют строгие прямо или обратно пропорциональные связи между исходными переменными Хи Y: достаточна лишь монотонная функциональная связь между ними. Иными словами, ран­говые корреляции достигают своего максимального по модулю значения, если большему значению одной переменной всегда соответствует большее значе­ние другой переменной (+1) или большему значению одной переменной все­гда соответствует меньшее значение другой переменной и наоборот (—1).