Определители. Свойства. Вычисление

1. Квадратной матрице - го порядка соответствует число, называемое определителем (или детерминантом). Обозначается определитель: , , .

Если = 1 , то		- определитель 1-го порядка.
Если = 2 , то		- определитель 2-го порядка.

Схема вычисления:

.

Если = 3 , то

- определитель 3-го порядка.

Определитель третьего порядка можно вычислять по правилу треугольников (правилу Саррюса).

Схема вычисления:

Типовые примеры. Вычислить определитель.

1) .

► .◄

2) . ►

=-28 +16= - 12.◄

3) . ►

=(0+12+16)-(0+12+4)=28-16=12. ◄

Прежде, чем сформулировать определение определителя -го порядка, рассмотрим одно вспомогательное понятие.

2. Перестановки. Перестановкой чисел называют расположение этих чисел в каком-либо определенном порядке (не обязательно в порядке возрастания). НаТиповой пример, – одна из возможных перестановок чисел .

Число различных перестановок, которые можно составить из чисел , равно произведению (читается: «n факториал»).

Пусть дана какая-то перестановка чисел . Назовем инверсией (или беспорядком) в перестановке любую пару чисел в этой перестановке, из которых большее число расположено левее меньшего.

Типовой пример. В перестановке имеются 3 инверсии: их образуют пары , , .

Условимся обозначать общее число инверсий в перестановке символом . Перестановка называется четной, если число – четное, и нечетной, если число – нечетное.

Так в рассмотренном выше Типовой примере перестановка содержала 3 инверсии и, следовательно, является нечетной. Заметим, что перестановка не содержит ни одной инверсии, иначе говоря, содержит 0 инверсий. Следовательно, эта перестановка является четной.

3. Определитель -го порядка. Определителем -го порядка (или определителем матрицы -го порядка) называется число, равное

, (4)

где суммирование распространяется на все перестановки , которые можно составить из чисел . Количество слагаемых в правой части равенства (4) равно , так как количество всех перестановок множества из элементов равно .

4. Свойства определителей. Сформулируем без доказательства ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель -го порядка.

1) Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. . Это свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства формулировать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их и для столбцов.

2) При перестановке местами 2-х строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

3) Линейное свойство определителя. Если все элементы -ой строки определителя -го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых

,

то исходный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых элементами -й строки являются соответственно и , а все остальные строки – такие же, как у исходного определителя. При этом определители умножаются на и соответственно:

.

Конечно линейное свойство справедливо и для случая, когда -я строка является линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. На этот случай (любого конечного числа слагаемых) сформулированное свойство обобщается индукцией по числу слагаемых.

Приведенные три свойства являются основными свойствами определителя. Все следующие свойства являются логическими следствиями трех основных свойств.

4) Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит свой знак на противоположный. Таким образом, , т.е. или .

5) Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число . Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак этого определителя. Это свойство вытекает из свойства 3 при .

6) Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из свойства 5 при .

7) Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. В самом деле, в силу свойства 5 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно свойству 4.

8 ) Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится. В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3 разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк и свойства 7.

9) Определитель произведения матриц. Если , где и – квадратные матрицы (одинакового порядка), то .

5. Вычисление определителей -го порядка. Пусть дана матрица -го порядка. Минором любого элемента называют определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания -й строки и -го столбца (т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Минор элемента будем обозначать символом .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называют минор этого элемента, умноженный на , т.е.

.

ТЕОРЕМА. Определитель матрицы -го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь одной фиксированной строки на их алгебраические дополнения, т.е. для любого имеет место равенство

,

называемое разложением определителя по элементам -й строки.

Аналогично для имеет место разложение определителя по элементам -го столбца:

.

Методы вычисления определителей.

1) Разложение по строке или столбцу.

2) Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного обращаются в нуль, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).

3) Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного преобразования определителя к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диагонали.

Типовые примеры. Вычислить определитель.

1) . ► Имеем , или,

например, ,

и т.д.◄

2)► =0+(-45-91)+0= -136. ◄

3) . ► Вычислим данный определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Следовательно,

◄

4) Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

► Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак, имеем

.

.

Таким образом окончательно получим

.◄

5) Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

► Будем обращать в нуль все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим

Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

6) Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель

► Воспользуемся видом определителя , который получился после процедуры обращения в нуль всех элементов (кроме первого) первой строки:

.

Далее с помощью второго столбца обратим в нуль элементы второй строки, кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в результате чего определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной диагонали:

.◄

§3. Обратная матрица.

1. Как известно, для каждого числа существует такое число , что . Число называется обратным для . Если мы зафиксируем натуральное число и будем рассматривать квадратные матрицы -го порядка, то в этом множестве матриц единичная матрица будет играть роль единицы. Естественно поставить вопрос о существовании обратной матрицы, т.е. такой матрицы, которая в произведении с данной матрицей дает единичную.

Пусть – квадратная матрица -го порядка. Квадратная матрица (того же порядка ) называется обратной для , если

.

Матрицу, обратную к матрице , принято обозначать символом .

2. Способы вычисления обратной матрицы. Если для квадратной матрицы существует обратная матрица , то справедливо равенство , где – единичная матрица. Переходя в этом равенстве к определителям (и учитывая свойство 9 определителей), имеем , или . Отсюда заключаем, что (в противном случае левая часть последнего равенства равнялась бы нулю). Этим доказано, что если , то для матрицы не существует обратной. Другими словами, условие является необходимым условием существования обратной матрицы. Оказывается, это условие является и достаточным.

Лемма. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю (). В противном случае матрица называется вырожденной ().

Пусть матрица имеет вид

.

ТЕОРЕМА. Если – невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица , которая вычисляется по формуле

, (5)

где – алгебраическое дополнение для элемента матрицы .

Замечание. Обратим внимание на расположение чисел в правой части формулы (5): число расположено не в -й строке и -м столбце, а наоборот, в -й строке и -м столбце. Таким образом, матрица, стоящая в правой части (5), является транспонированной матрицей алгебраических дополнений элементов матрицы .

Типовой пример. Найдите , если .

► . – невырожденная матрица, следовательно, обратная для нее существует. Найдем ее по формуле:

.

Обратите внимание на индексацию алгебраических дополнений. Вычисляем алгебраические дополнения

; ; ;

; ; ;

; ; .

Тогда

.

Можно сделать проверку:

. Значит, обратная матрица найдена верно.◄

3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований. Элементарные преобразования матрицы.

1. Перестановка строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число .

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое число.

Чтобы найти матрицу, обратную данной, делаем следующее:

- для матрицы записываем прямоугольную матрицу , приписывая справа единичную матрицу;

- с помощью элементарных преобразований приводим матрицу к виду . Тогда . Эквивалентные матрицы обозначаются .

Типовой пример. Найти матрицу, обратную данной: .

► ~(первую строку матрицы умножили на ) ~ ~ ~ ~

. Следовательно, .

Проверка: . ◄

С помощью обратной матрицы можно решать простейшие матричные уравнения, где неизвестной является матрица X. Это уравнения следующего вида

.

В этих уравнениях – матрицы таких размеров, что все операции умножения возможны и с обеих сторон от знаков равенств находятся матрицы одинаковых размеров. Если в первых двух уравнениях матрица невырожденная, то их единственное решение записывается следующим образом соответственно и . Если в третьем матричном уравнении матрицы и невырождены, то его решение записывается в виде .
Пример. В таблице приведены данные о дневной производительности пяти предприятий, выпускающих четыре вида продукции с потреблением трех видов ресурсов, а также количество рабочих дней в году каждого предприятия и цены каждого вида сырья:

Требуется найти:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду продукции;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду ресурса;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки ресурсов, необходимых для выпуска продукции указанных видов и при определенном количестве рабочих дней.

► Введем следующие обозначения.

Данная матрица является матрицей производительности пяти предприятий по всем 4 видам продукции. Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду изделий. Следовательно, годовая производительность -го предприятия по каждому виду изделий получается умножением -го столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (к = 1, 2, 3, 4, 5)

А ₁₁=0, 79 А ₂₁=0, 16 А ₃₁=0, 02

А ₁₂=0, 16 А ₂₂=0, 8 А ₃₂=0, 1

А ₁₃=0, 02 А ₂₃=0, 1 А ₃₃=0, 96,

тогда .

Это матрица коэффициентов полных материальных затрат.

б) , т.е. валовый выпуск продукции 1-го, 2-го и 3-го цехов будут соответственно .

в) Найдем производственную программу каждого цеха (промежуточный продукт) по формуле (; )

;

;

;

;

;

;

;

;

.

В результате получим следующую таблицу:

г) Коэффициенты косвенных затрат определяются как разности полных внутрипроизводственных затрат и прямых затрат . В матричной форме:

; .◄

4. Невырожденная квадратная матрица , для которой , называется ортогональной. Свойства ортогональных матриц, играющих важную роль во многих приложениях, можно сформулировать в виде следующих теорем.

ТЕОРЕМА. Для ортогональной матрицы справедливо равенство .

ТЕОРЕМА. Каждая ортогональная матрица второго порядка , для которой может быть представлена в виде , где j - некоторое число, а каждая ортогональная матрица с - в виде .