Действия с матрицами

Две матрицы и считаются равными, если совпадают их размеры и при любых и . Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и , т.е. для любых индексов , .

Свойства сложения:

1. .

2. .

3. Если – нулевая матрица, то .

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число: .

Свойства умножения матрицы на число:

1. .

2. .

3. .

Вычитание матриц можно выполнить с помощью двух предыдущих операций, т.е. .

Умножение матриц. Произведение матрицы на матрицу (обозначается ) определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получим матрицу , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов, сколько их в матрице . Для удобства запоминания запишем это кратко:

Если , и , то элементы определяются следующим образом:

, (3)

где .

Итак, произведением матриц и называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов - й строки первой матрицы () на соответствующие элементы - го столбца второй матрицы ().

Схема вычисления:

Другими словами, элемент является результатом скалярного произведения -й вектор-строки и -го вектор-столбца.

Некоторые свойства произведения чисел не выполняются для произведения матриц. Заметим, что оба произведения и можно определить лишь в том случае, когда число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы , а число строк матрицы совпадает с числом столбцов матрицы . А именно, матрица имеет размеры , а – размеры . При этом, вообще говоря, (если , то матрицы называются перестановочными). Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице: .

Из формулы (3) вытекают свойства умножения матриц:

1) (ассоциативность умножения);

2) или (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Легко проверить, что для любой матрицы -го порядка имеют место равенства

и .

Эти равенства показывают особую роль единичной матрицы , аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел.