Пример 2 построения конечно-разностной схемы

Рассмотрим простой пример распределения температуры вдоль оси однородного теплоизолированного по образующей стержня.

Стержень постоянного сечения имеет длину L и теплоизолирован с боков. В начальный момент времени каждое сечение имеет некоторую начальную температуру, закон распределения которой вдоль оси F(x). Правый и левый концы стержня (соответственно a и b) нагреваются по известному закону T_a(t) и T_b(t). Найти распределение температуры вдоль оси стержня в произвольный момент времени от 0 до t_к.

Распределение температуры вдоль оси стержня T(x, t) описывается одномерным уравнением теплопроводности:

(5)

a_Т=l/(cr) - коэффициент температурной проводимости, l - коэффициент теплопроводности, c - удельная теплоемкость, r - плотность.

Уравнение (5) должно быть дополнено краевыми условиями:

граничные условия: T(0, t)=T_a(t); T(L, t)=T_b(t)

начальные условия: T(x, 0)=F(x)

Применим следующую КР:

· выделим вдоль оси стержня m точек для дискретизации пространственной оси от x=0 до x=L с шагом h_x=h;

· для дискретизации времени выберем n точек на временной оси от t=0 до t=t_к с шагом h_t=t

· множество узлов сетки, соответствующих t=t_j будем называть j -ым временным слоем;

Таким образом, от непрерывной функции T(x, t) перейдем к ее сеточной аппроксимации T(x_i, t_j)=T_{i, j}. Сеточный вид принимают и краевые условия. Графически это можно изобразить в виде регулярной прямоугольной конечно-разностной сетки:

Конечно-разностную схему построим сначала на правой разностной аппроксимации частной производной по времени. Тогда для узла (x_i, t_j) получим следующую разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности:

(T_{i+1, j}-2T_{i, j}+T_{i-1, j})/h²=1/a_Т ´ (T_{i, j+1}-T_{i, j})/t (6)

Это уравнение можно решить относительно T_{i, j+1}

T_{i, j+1} =(T_{i+1, j}-2T_{i, j}+T_{i-1, j})g + T_{i, j} =

=gT_{i+1, j}+(1-2g)T_{i, j}+gT_{i-1, j} (6.1)

где g=(a_Тt) / h²

Формула (6.1) представляет собой рекуррентной выражение, позволяющее получить численной решение задачи. Действительно, эта формула выражает в явном виде фазовую переменную следующего временного слоя через значения фазовой переменной в узлах предыдущего временного слоя. Поскольку в нулевом временном слое начальные условия заданы во всех узлах T_{i, 0}=F_i, значения в первом временном слое могут быть найдены через известные значения.

Подставив j=0 в (6.1) получим выражения для температуры любой точки оси стержня в момент времени t

j=0 T_{i, 1}= T_{i, t}= gT_{i+1, 0}+(1-2g)T_{i, 0}+gT_{i-1, 0} =gF_i+1+(1-2g)F_i+gF_i-1 (7.1)

Подставив j=1 с учетом найденного ранее в (7.1) T_{i, t} получим выражения для температуры любой точки оси стержня в момент времени 2t

j=1 T_{i, 2}= T_{i, 2t}= gT_{i+1, t} +(1-2g)T_{i, t} +gT_{i-1, t} (7.2)

И так далее до j=n t=nt. Графически этот процесс может быть представлен следующим образом

Схема на рисунке называется явной, - в ней переменные следующего слоя могут быть явно выражены через переменные предыдущего слоя. Явную схему отличает простота получения решения, однако явная схема может привести к неустойчивости решения - накоплениюпогрешности вычислительного процесса. Для данной задачи достаточным условием устойчивости решения g£ 0.5 или t£ h²/2a_Т. Таким образом, выбирая шаг по пространственной координате по соображениям точности, шаг по временной координате приходится выбирать из условия устойчивости решения.

Другая схема получится, если мы используем левую разность для аппроксимации частной производной по времени:

Тогда для узла (x_i, t_j) получим следующую разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности:

(T_{i+1, j}-2T_{i, j}+T_{i-1, j})/h²-1/a_Т ´ (T_{i, j}-T_{i, j-1})/t=0 (8)

Принимая те же обозначения, что в (6) получим

gT_{i+1, j}-(1+2g)T_{i, j}+gT_{i-1, j} +T_{i, j-1}=0 (8.1)

Выражение (8.1) описывает температуру в j-ом временном слое и содержит более чем 1 неизвестное. Схема получения выражения представлена на рисунке. Это неявная форма, поскольку невозможно получить результаты для текущего слоя, опираясь на уже полученные результаты для предыдущего слоя. Поэтому приходится решать систему уравнений, которая в развернутом виде выглядит следующим образом

Двойной линией подчеркнуты известные граничные условия на концах стержня, одинарной - известные значения переменной на предыдущем временном слое (для первого временного слоя они равны начальным условиям F_i)

Полученная система - это система линейных алгебраических уравнений вида AT=B, где

Система уравнений имеет специфическую структуру - она разреженная и имеет К диагоналей, где К определяется типом применяемого конечно-разностного отношения.

Сравнение явных и неявных схем

§ 2.4 Решение системы алгебраических уравнений типа AX=B

(обработка конечно-разностной схемы)

Используют две основных группы методов решения:

· прямые («точные») методы

· итерационные методы