Пример 2: Математическая модель.

1. Постановка задачи.

В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

2. Построение модели и формализация.

Сначала рассмотрим модель процесса движения тела с использованием физических понятий и законов. Из условия задачи можно сформулировать следующие предположения:

§ Мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

§ Изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной и движение по оси ОУ можно считать равноускоренным;

§ Скорость бросания тела мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси ОХ можно считать равномерным.

Для формализации модели используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения. При заданных начальной скорости и угле бросания a значения координат дальности полета x и высоты у от времени можно описать следующими формулами:

;

.

Пусть мишень высотой h будет размещаться на расстоянии s от автомата. Из первой формулы выражаем время, которое понадобиться мячику, чтобы преодолеть расстояние s:

Подставим это значение t в формулу y. Получаем l – высоту мячика над землей на расстоянии s:

.

Формализуем условие попадания мячика в мишень. Попадание произойдет, если значение высоты l мячика будет удовлетворять условию в форме неравенства:

.

Если l< 0, то это означает «недолет», а если l> h, то это означает «перелет».

3. Разработка алгоритма и программы.

В разделе 6 будут рассмотрены некоторые примеры построения алгоритмов, а на данном этапе опишем последовательность действий для решения данной задачи:

Шаг.1. Введем значения начальной скорости, угла бросания мячика, расстояния до мишени и ее высоты;

Шаг 2. Проведем все вышеперечисленные расчеты, для визуализации построим траекторию движения мячика;

Шаг 3. Выведем полученный результат;

Шаг 4. Повторим Шаги 1…3 для других начальных значений до попадания мячика в мишень и зафиксируем эти значения.

Данный алгоритм может быть реализован на любом языке программирования.

4. Компьютерный эксперимент.

Итогом компьютерного эксперимента является построение графиков.

5. Анализ результатов.

По полученным результатам определили диапазон величин углов, которые обеспечивают попадание мячика в мишень.

Отметим, что в зависимости от постановки задачи и используемого математического аппарата может быть исследована любая математическая модель.