Задача 8.3.

1.Выборку значений СВ Х, указанную в условии задачи 8.1 сгруппировать, разбивая отрезок [a, b] (а = min х_i; b = max х_i) на 5 интервалов с границами

и подсчитать частоты интервалов.

2. Предполагая, что Х распределена по нормальному закону и принимая в качестве параметров М[X], s[X] их оценки , s вычислить теоретические частоты интерва-лов.

3. С помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости α =0.1 проверить, согласуются ли выборочные данные с гипотезой о нормальном распределении величины Х. Число степеней свободы принять равным трём.

Решение. 1. Из статистического ряда задачи 8.1видно, что а=min x_i = 2, в = max x_i = =10, поэтому (в-а)/5=1.6 и границы интервалов будут ξ ₀ = 2, ξ ₁ = 2+1.6=3.6, ξ ₂ = =3.6+1.6=5.2, ξ ₃ = 5.2+1.6=6.8, ξ ₄ = 6.8+1.6= 8.4, ξ ₅ = 8.4+1.6=10.

Эмпирическая частота r_j интервала (j =0,.., 4) подсчитывается с помощью ряда как число наблюдений, попавших в интервал, отнесённое к объёму выборки n. Так, в первый (j =0) интервал [2; 3.6] попало 4+10=14 значений, поэтому r₀ = = 14/100 =0.14. Aналогично, r₁= 0.21, r₂=0.3, r₃=0.2, r₄=0.15.

2. Примем в качестве параметров нормального распределения Х вычисленные в задаче8.1 значения точечных оценок

M[X] = = 6.23, s[X] = s = 2.06

Теоретические частоты интервалов (j =0, 1,.., 4) являются вероятностями

С помощью таблиц интеграла Лапласа находим

3. Вычисляем значение

По таблице распределения χ ² Пирсона для доверительной вероятности g = 1-α = 0.9 и числа степеней свободы n = 3 находим значение . Поскольку гипотезу о нормальном распределении СВ Х следует считать не противоречащей выборочным данным.