Остойчивость при больших наклонениях 2 страница

Допустим, что на судно динамически подействовал кренящий момент по­стоянной величины М_Кр. Его работа выражается линейной зависимостью

А_кр = М_кр в и изображается прямой, исходящей из начала координат. Для ее по­строения проще всего взять на оси абсцисс угол, равный 1 радиану, т.е. 57, 3°, и по вертикали отложить отрезок, равный в масштабе оси ординат работе, которая при этом угле численно равна кренящему моменту М_кр. Тогда прямая, проходящая

через начало координат и верхний конец отрезка М_кр, изобразит зависимость ра­боты кренящего момента от угла в. Точка пересечения этой прямой с диаграммой динамической остойчивости определит динамический угол крена 0$ как угол, со­
ответствующий равенству работ кренящего и восстанавливающего моментов (рис.4.11).

Для определения наиболь­шего динамически приложенного момента, который судно выдер­жит не опрокидываясь, заметим, что, увеличивая кренящий мо­мент, мы будем получать все бо­лее крутые прямые, изображаю­щие его работу, и соответственно будут увеличиваться динамиче­ские углы крена. Очевидно, что наиболее крутой прямой, имею­щей общую точку с кривой дина­мической остойчивости, будет ка­сательная к этой кривой, которая и определит искомое значение М_опр как ординату касательной,

измеренную при угле 1 радиан = 57, 3°. При этом абсцисса точки касания определит наибольший динамический

угол крена в^^опр(рис.4.11).

4.7. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ ОСТОЙЧИВОСТИ

В условиях эксплуатации водоизмещение и положение центра тяжести суд­на могут изменяться в широких пределах и для суждения об остойчивости при различных состояниях нагрузки необходимо иметь возможность построения диа­грамм статической и динамической остойчивости для любых значений водоизме­щения D и аппликаты центра тяжести z_g.

В судовых условиях для этой цели пользуются интерполяционными кривы­ми плеч остойчивости формы или универсальными диаграммами статической ос­тойчивости. Такие вспомогательные диаграммы рассчитываются проектирующи­ми организациями и включаются в комплект технической документации, переда­ваемой на судно.

4.7.1. Интерполяционные кривые плеч остойчивости формы

Так называется диаграмма, содержащая серию кривых, каждая из которых изображает зависимость плеч силы плавучести (плеч остойчивости формы) в функции объемного водоизмещения при постоянном значении угла крена. Типич­ный вид интерполяционных кривых показан на рис.4.13.

0 57, 3° Q опр Рисунок 4.11. Решение основных задач по диа­грамме динамической остойчивости

В судовых документах встречаются различные виды интерполяционных кривых, отличающихся способом разделения плеча остойчивости на составные части в зависимости от положения точки (полюса), от которой измеряются плечи до силы плавучести и силы тяжести.

Обычно используемые спо­собы разделения плеч остойчиво­сти сводятся к следующим четы­рем случаям (рис.4.12), для кото­рых ниже приводятся соответст­вующие формулы расчета плеч статической остойчивости:

1. полюс совпадает с началом ко­ординат, тогда

l = ly-z_g sin(9; (4.8)

2. полюс совпадает с центром ве­личины при прямом положении судна, тогда / = 1ф - a sin в, (4.9)

где a = z_g-z_c;

3. в качестве полюса принято ус­ловное (фиксированное) поло­жение центра тяжести судна с аппликатой zq, тогда: / = /o-(z_g-zo)sin< 9; (4.10)

4. полюс совпадает с начальным метацентром судна т, тогда

Рисунок 4. 12. Различное представление плеч остойчивости формы

(4.11)

z_m Zg.

Таким образом, в случаях 1 и 3 полюсом является фиксированная точка диаметральной плоскости при всех водоизмещениях, в случаях же 2 и 4 поло­жение полюса меняется с водоиз­мещением.

¹Ф Вообще, если полюс, от ко­

торого измеряются плечи остой­чивости формы, расположен на высоте z_n от основной плоскости,

то плечо остойчивости веса будет: 1_в = (z_g - z„ J sin в

и выражение для плеча остойчи­вости будет:

I -l_n- (Zg - z_n) sin 9.

В соответствии с принятым способом разделения плеча ин­терполяционные кривые изобра­жают зависимость плеч 1у, 1ф, Iо

или 1_т от водоизмещения V.

Частный вид интерполяционных кривых, представляющих зависимость плеча остойчивости формы 1ф(у), носит название пантокарен (кривые подводной

части корпуса), показан на рис.4.13. Все интерполяционные кривые строятся для диапазона водоизмещений от состояния судна порожнем до состояния в полном грузу для углов крена от 0° до 70°-90°, обычно через равные интервалы в 10°. На каждой кривой указывается угол крена, которому она соответствует.

Некоторые проектные организации вместо интерполяционных кривых представляют диаграмму координат центра величины, на которой изображаются кривые у_с и z_c в зависимости от водоизмещения для ряда значений углов крена.

При пользовании такой диаграммой плечи статической остойчивости определя­ются по формуле:

l = y_c cos# + z_c sin #-Zg sin#, (4.12)

где первые два слагаемых правой части дают плечо формы 1у.

При пользовании интерполяционными кривыми расчет плеч статической и динамической остойчивости удобно вести в приведенной ниже табличной форме, которая составлена применительно к интерполяционным кривым в форме панто­карен (4.9).

При расчете таблицы на оси абсцисс пантокарен откладывают расчетное водоизмещение и проводят вертикаль, ординаты точек пересечения которой с кривыми определяют плечи 1ф. Интегральные суммы вычисляются по формуле

о-„(/)=< т„_₁(/)+/„_ 1 +/„, где индекс п-1 означает предыдущую колонку таблицы. При вычислении плеч динамической остойчивости шаг углов таблицы Ав берет­ся в радианной мере. Приведенный в таблице способ расчета плеч динамической остойчивости пригоден только для постоянного шага на всем интервале углов таблицы.

По данным строки плеч статической остойчивости строится в виде плавной кривой диаграмма статической остойчивости, наклон начального участка которой уточняется построением касательной, как это было рассмотрено ранее. Строка

плеч динамической остойчивости служит для построения диаграммы динамиче­ской остойчивости.

4.7.2. Универсальные диаграммы остойчивости

На современных судах в качестве документа для построения диаграмм ос­тойчивости получила распространение универсальная диаграмма статической ос­тойчивости. В отличие от интерполяционных кривых такая диаграмма позволяет определять плечи статической остойчивости для любого состояния нагрузки суд­на без всяких вычислений.

Универсальная диаграмма содержит серию кривых плеч статической остой­чивости Iq, построенных для ряда водоизмещений D (обычно через равные ин­тервалы), но для одной и той же метацентрической высоты И₀. Для любой другой метацентрической высоты h плечо / определяется формулой:

! = l₀-Shsine, где Sh = h₀-h. (4.13)

Для того, чтобы избежать построения на диаграмме синусоидальной по­правки, ось абсцисс разбивается в масштабе синусов углов крена от 0 до 1. В этом случае поправка (вычитаемое) изобразится наклонной прямой, исходящей из на­чала координат, а диаграммы остойчивости будут соответственно сдеформирова-

ны. Для удобства пользования диа­граммой на оси абс­цисс наносится шка­ла углов крена от 0° до 90°, которая бу­дет неравномерной. Диаграмма имеет две оси ординат с одинаковой ценой деления: левую, на которой нанесены значения плеча /, и правую, проходя­щую через точку оси абсцисс 90°, на ко­торой нанесены зна­чения метацентри­ческой высоты И. Общий вид универ­сальной диаграммы статической остой­чивости приведен на рис.4.14.

Рисунок 4. 14. Универсальная диаграмма статической остойчивости

Рисунок 4. 15. К пользованию универсальной диаграммой

При пользова­нии универсальной диаграммой находят кривую, соот­ветствующую расчетному водоиз­мещению D (если необходимо, ин­терполируют между соседними кривыми), а на вертикальной шкале справа находят точку А с расчет­ным значением h и из начала коор­динат проводят прямую OA. Тогда плечи статической остойчивости изобразятся вертикальными отрез­ками между кривой D и прямой OA, измеренными в масштабе ле­вой оси ординат. Угол заката 0_У определится абсциссой точки пересечения кривой и прямой, а максимальное пле- чо 1_тах и угол максимума 9_т найдутся, если провести касательную к кривой D, параллельную прямой OA, как это показано на рис.4.15.

Рисунок 4. 16. Универсальная диаграмма динамической остойчивости

В соответствии со свойством касательной к диаграмме статической остой­чивости, прямая, соответствующая ^Л - будет касательной в начале координат для всех кривых D.

Аналогично может быть построена универсальная диаграмма динамической остойчивости. Интегрируя обе части равенства (4.13) в пределах от 0 до 6, получим:

d = d_o-Sh(l~cos0)^ (4.14)

где d и do - плечи динамической остойчивости, соответствующие произволь­ной метацентрической высоте h и фиксированной ho. Диаграмма содержит серию кривых плеч do для ряда водоизмещений D при метацентрической высоте ho. Чтобы вычитаемое изображалось на диаграмме прямой линией, ось абсцисс разбита равномерной шкалой множителя l-cos< 9, что приводит к соответствующей деформации кривых плеч динамической остойчиво­сти, но для удобства пользования на оси абсцисс приведена неравномерная шкала углов крена. Общий вид универсальной диаграммы динамической остойчивости изображен на рис.4.16.

Плечи динамической остойчивости для расчетных D и h определяются вер­тикальными отрезками между соответствующей кривой D и прямой ОБ, прове­денной из начала координат в точку В значения h на правой вертикальной шкале.

Производная плеча d по аргументу, отложенному по оси абсцисс, при < 9 = 0 будет:

d(d)

£ /(l-COS0)

поэтому прямая, проведенная из начала координат в точку h = 0, будет касатель­ной в начале координат ко всем кривым D.

Рисунок 4. 17. Изменение плен остойчивости при

4.8. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ ОСТОЙЧИВОСТИ

4.8.1. Изменение диаграмм остойчивости при смещении грузов

Если груз массой т с центром тяжести в точке {y\, z\) смещен в точ­ку (У2> ^z2 X ^то Центр тяжести судна пе­рейдет из точки G\ в точку Gj, сме­стившись вдоль осей на: ^SZg

(4.15)

как показано на рис.4.17.

Будем определять положение точки G2 по отношению к G\ полным смещением ЦТ, т.е. отрезком:

QQ

G_lG₂=S = _}j(Sy_g)²₊(sz_g)², и углом а, определяющим направление смещения ЦТ:

Sz,

(4.17)

Sy_g У2~У\

Тогда для плеч статической остойчивости получим:

l\=I-Scm(a-e). (4.18) В рассмотренном общем случае переноса груза диаграмма статической ос­тойчивости будет несимметричной и судно будет плавать с углом крена, кото­рый определяется из условия:

k fao)= 1(00) - 8 cos(a - во) = 0. (4.19) Рассмотрим теперь частные случаи переноса груза.

1. Вертикальное перемещение груза.

Этому случаю соответству­

10 20 3 0 40 50 60 70 \ 80 Я) Рисунок 4. 18. Изменение диаграммы остойчивости при вертикальном переносе груза

м

* V

ют:

л

8у„ - 0; 8 = Sz₂; a =

и формула пересчета плеча остой­чивости будет:

=l-8z_g sine. (4.20)

Перестроение и вид диа­граммы статической остойчивости после переноса груза вверх (z2> z\) показаны на рис.4.18 сплошными линиями. Из рисунка видно, что в этом случае парамет­ры диаграммы ухудшаются: уменьшаются угол заката, макси­мальное плечо и угол максимума диаграммы. При переносе груза вниз (z₂ < z\) элементы диаграм­мы улучшаются, что показано на том же рисунке пунктирными ли­ниями.

2. Горизонтальное перемещение груза. Этому случаю соответствуют:

Sz_g = 0; 8 = 8y_g; a = 0;

и формула пересчета плеча остойчивости будет:

l\ = I-8y_g cos#.

Перестроение и вид диаграммы статической остойчивости после переноса груза на правый борт (у 2 > у\) показаны на рис.4.19. Из рисунка видно, что в этом случае диаграмма остойчивости становится несимметричной: ухудшаются харак­теристики ее ветви для крена на правый борт и улучшаются для крена на левый борт. Положение равновесия смещается и судно будет плавать с креном на пра­вый борт. При переносе груза на левый борт (у2 < у\) изменение диаграммы ос­тойчивости будет иметь противоположный характер (показано пунктиром).

Формулы пересчета плеч ди­намической остойчивости при пе­ремещении груза могут быть полу­чены интегрированием по углу в выражений для плеч статической остойчивости.

Для общего случая, интегри­руя (4.18), получим: d\ =d-S [sinа -sin(a -#)] (4.22) Отсюда для частных случаев получаем:

при вертикальном переносе груза (рис.4.20)

d\ =d-Sz_g (l-cos0); (4.23)

при горизонтальном переносе груза (рис.4.21)

Syg sin в

Рисунок 4. 19. Изменение диаграммы остойчивости при л \ поперечном переносе груза

............ „ ш_

v

J0 20 3» 40 50 60 70 80 90 Рисунок 4. 20. Изменение диаграммы динамиче­ской остойчивости при вертикальном переносе груза

1Л1

В последнем случае минимум диаграммы динамической остойчивости сдвинут в сторону переноса груза, а его положение соответствует углу крена, при котором судно находится в равновесии.

4.8.2. Действие шквала на судно с креном

Если судно имеет постоянный крен, вызванный несимметричной нагрузкой, то ветви диаграммы статической остойчивости, соответствующие крену на пра­вый и левый борт как указано выше, будут различными. В соответствии с этим и выдерживаемые судном внешние кренящие моменты будут разными в зависимо­сти от направления их действия.

Рисунок 4. 22. Определение выдерживаемых моментов для судна с начальным креном

Рисунок 4. 23. Действие шквала на судно с креном от ветра

Допустим, что судно имеет начальный крен 9q на правый борт (рис.4.22), а шквал налетает с лево­го борта. Тогда наибольший мо­мент М\, который выдержит суд­но, определится равенством пло­щадей ABC и CDE, заштрихован­ных вертикально. Если же шквал подействует с подкреновой сторо­ны, т.е. с правого борта, то наи­больший выдерживаемый судном момент М2 определится равенст­вом площадей AFG и GHI, за­штрихованных горизонтально. Из

рисунка ясно, что M^> M\ ив рассматриваемом случае опаснее будет шквал, дейст­вующий в ту же сторону, куда накренено судно.

Иная картина имеет ме­сто, если начальный крен суд­на вызван внешними причи­нами: ветром или волнением.

Допустим, что на судно действует кренящий момент Л/q, образованный ветром по­стоянной силы, и судно имеет в результате этого угол крена 0_О (рис.4.23). Пусть с навет­ренного борта налетел шквал, вследствие чего кренящий мо­мент возрос до величины М. Этому моменту соответствует положение равновесия, опре­деляемое углом в_ст. Но под действием динамически приложенного дополнитель­ного момента судно сначала наклонится на динамический угол крена в\, который
определится равенством работ, изображаемых площадями ABC и CDE, заштрихо­ванных на рисунке горизонтально.

Гораздо большую опас­ность представляет шквал с подветра. Действительно, по­ложим, что судно имело крен -0о, т.е. на левый борт, и шквал той же силы налетел с подветра, иначе говоря, кре­нящий момент от постоянного ветра внезапно изменил на­правление на противополож­ное. Тогда судно придет в по­ложение равновесия при угле

накопив кинетическую

энергию, равную работе, изо­бражаемой площадью FGC, и, перейдя угол в_ст, достигнет динамического угла крена 6i, определяемого равен­ством площадей FGC и CHI, заштрихованных вертикально. Из рисунка видно, что при действии одного и того же момента М в первом случае (шквал с наветра) остается запас динамической остойчивости, определяемый площадью DEK, в то время как во втором случае (шквал с подветра) этот запас равен площади HIK. На рис.4.24 показано определение предельных выдерживаемых судном кренящих моментов при действии шквала с наветра М\ и с подветра М2, найденных из ус­ловия равенства площадей, заштрихованных соответственно горизонтально и вер­тикально.

Прямое решение тех же за­дач на диаграмме динамической остойчивости показано на рис.4.25, где индексом 1 обозна­чены величины, относящиеся к случаю шквала с наветра, а ин­дексом 2 - к случаю шквала с подветра. Угол статического кре­на во соответствует точке А], в которой касательная А_ХС_Х к диа­грамме имеет наклон, определяе­мый моментом М₀. Построение касательной показано на рисунке, где отрезок А\В\ равен одному радиану, аВ\С\ - моменту Mq. Откладывая по той же вертикали

Рисунок 4. 25. Прямое решение задач с ветровым креном на _отрезОК В_} Я,, равНЫЙ МОМвНТу М диаграмме динамической остойчивости ^{г 1 1}' ^{r J}

от шквала, и проведя секущую A\D\, найдем динамический угол крена в\ как абс­циссу точки Е пересечения секущей с диаграммой динамической остойчивости.

Наибольший динамический момент Л/_ь выдерживаемый судном, опреде­лится отрезком B\F\, где F\ - точка пересечения вертикали B\F\ с касательной к диаграмме, проведенной из точки А\.

Динамический угол крена $2 от шквала, создающего такой же момент М, но приложенного с подветренного борта судна, имеющего крен - 6$, определится точкой Е2 пересечения секущей ^{того же} наклона, что и A\D\, с диаграммой динамической остойчивости. Наибольший динамический момент, выдерживае­мый судном, в этом случае изобразится отрезком вертикали B2F2, где F2 - точка ее пересечения с касательной, проведенной из точки А2.

Такими же построениями на диаграммах статической и динамической ос­тойчивости решаются задачи определения наибольших динамических моментов, выдерживаемых судном, совершающим на волнении бортовую качку с амплиту­дой < 9о. Момент М\ соответствует случаю, когда шквал действует в сторону крена судна и налетает в момент наибольшего наклонения, равного 0q. Момент М2 со­ответствует случаю, когда шквал налетает навстречу наклонению судна, имею­щему наибольший угол наклона -9q. Если шквал налетает на судно при каком- либо крене в к, промежуточном между < 9₀ и - 0q, то выдерживаемый судном мо­мент М^ определится касательной, проведенной из точки на прямой А\А2, соот­ветствующей этому углу 6к. Из рис.4.24 ясно, что момент М^, характеризуемый наклоном этой касательной, будет промежуточным между моментами М\ и М2, которые являются наибольшим и наименьшим из выдерживаемых судном дина­мических моментов при качке с амплитудой во.

Заметим, что приведенный способ определения выдерживаемых судном ди­намических моментов в условиях качки является приближенным и приводит к значениям несколько ниже выдерживаемых фактически.

4.8.3. Кренящий момент, зависящий от угла крена

Обычно при рассмотрении задач остойчивости предполагается, что креня­щий момент есть величина постоянная, не зависящая от угла крена судна, что по­зволяет получить простые способы их решения. В действительности кренящие моменты изменяются с наклонением судна и это усложняет решение.

Прямое определение статического и динамического углов крена при пере­менном моменте состоит в построении графика зависимости кренящего момента от угла крена на диаграмме статической остойчивости и графика работы этого момента (интегральной кривой) на диаграмме динамической остойчивости. Абс­циссы точек пересечения построенных кривых с диаграммами остойчивости оп­ределят искомые углы крена. Однако определение таким способом предельных выдерживаемых судном моментов требует подбора кривых, касательных к диа­граммам статической и динамической остойчивости.

Такой способ малоудобен и предпочтительнее пользоваться следующим прямым способом решения, основанном на построении приведенных диаграмм. Пусть кренящий момент задан в виде:

M_K(9) = M_Qf(0)₉ (4.25)

где Mq - кренящий момент в прямом положении судна;

/{в) - закон его изменения по углу крена.

Тогда работа кренящего момента при наклонении судна из прямого поло­жения до угла в будет:

A_K{e) = M₀F(&), (4.26)

где

в

F(9)= \f(9)d9. О

Статический угол крена определяется условием:

Mq f{9)=M_e{9), или Mq =Мв{9), где приведенный момент равен:

М_в(9)

М_в(9) =

Если построить диаграмму М_в(9), то статический угол крена по заданному Mq найдется как абсцисса точки пересечения горизонтали, проведенной на высо­те Mq, с кривой М_в(9), а наибольший выдерживаемый судном статический мо-

/

мент М™™ определится максимумом кривой.

Аналогично, если, используя условие определения динамического угла крена:

Mq F(0)=A_e(9), построить диаграмму приведенной работы:

Л_в(9) F(eY

то динамический угол крена по заданному Mq также найдется как абсцисса точки пересечения горизонтали на высоте Mq с кри­вой А_в{0), а наибольший выдерживаемый судном

динамический момент опреде­лится максимумом кривой А_в{б). Для каждого вида зависимости внешнего кренящего момента от угла крена судна f{0) приходится строить свои приведенные диа­граммы, но они дают простые прямые решения рас­сматриваемых задач. Заметим,

что нет необходимости в построении таких диаграмм во всем диапазоне углов крена, а лишь в районах углов ожидаемых решений.

Рассмотрим частные случаи задания закона изменения кренящего момента.

1. Для случая постоянного момента:

М_к (б) = Mq = const,

будем иметь:

f{0)= 1; F(6)=0\

отсюда получим: