Производная от функции по данному направлению

Пусть скалярное поле определено в области . Зафиксируем точку и выберем некоторое направление, определяемое вектором ; если существует предел , то его называют производной функции по данному направлению в заданной точке , где

, , .

Пусть в пространстве введена декартова система координат, тогда . Пусть функция дифференцируема в точке . Производную функции в точке по направлению вектора вычисляют по формуле

.

-

направляющие косинусы вектора .

Пример.2.8.2 Вычислим производную скалярного поля

в точке параболы по направлению кривой (в направлении возрастания абсцисс).

Решение. Пусть касательная к кривой в точке образует с осью угол : . Тогда

.

Производная по направлению для плоского скалярного поля будет равна

.