Частные производные

2.5.1 Пусть функция определена в некоторой – окрестности точки . Если дать независимой переменной приращение , то функция получит приращение, которое называют частным приращением функции по аргументу и обозначают символом , так что

.

Аналогично определяется частное приращение по :

.

Наконец, сообщив аргументу приращение , а аргументу – приращение , можно получить для новое приращение , которое называется полным приращением функции , определяемое формулой

.

Надо заметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е.

.

Пример.2.5.1 .

.

.

Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных.

2.5.2 Частной производной по (по ) от функции называется предел отношения частного приращения по ( по ) к приращению при стремлении к нулю и обозначается одним из символов

.

Таким образом, по определению,

или

.

Как это видно, правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Пример.2.5.2 .

.

Частные производные и , вообще говоря, являются функциями переменных и .

2.5.3 Если у функции (у функции ) существует частная производная по переменной (по переменной ), то ее называют частной производной второго порядка от функции по переменной (по переменной ) и обозначают (и ) или (и ).

Таким образом, по определению:

.

Если существует частная производная от функции (от функции ) по переменной (по переменной ), то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции и обозначают символом

.

Как это видно для функции от двух переменных , можно рассматривать четыре производные второго порядка.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . Получим частные производные третьего порядка. Их будет уже восемь:

.

Вообще, частная производная – го порядка есть первая производная от производной –го порядка. Например,

Естественно возникает вопрос, будут ли равны между собой частные производные, если они взяты по одним и тем же переменным одно и то же число раз, но в разном порядке. Например, равны ли

и и ?

В общем случае скажем: если нарушается непрерывность в точке у этих производных, то ответ на этот вопрос отрицательный.

Пример.2.5.3

.

Вычислим частные производные этой функции:

Аналогично вычисляются смешанные производные:

Таким образом, .

2.5.4 Теорема (о смешанных производных)

Пусть функция определена вместе со своими частными производными в некоторой – окрестности точки , причем непрерывны в этой точке, тогда результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример.2.5.4

как видно, .