Развитие теории расчета стержней

История развития теории деформирования и разрушения упругих стержней начинается, как известно, еще в 1635 году работой Галилея, который считал, что все волокна призмы при изгибе силой нагружаются одинаково и разрываются одновременно, при этом поперечное сечение разрушения поворачивается относительно своей нижней стороны. В 1686 году Мариотт во Франции, открывший независимо от Гука знаменитый закон (1660), заметил, что изгиб балки связан со сжатием некоторых волокон, и выдвинул предположение, что ось, относительно которой происходит поворот сечения, находится на половине его высоты. Однако предложенное им вычисление изгибающего момента разрушения также было ошибочным, и только Кулон в 1778 году исправил эти ошибки, выдвинув лемму о " равенстве нулю полной алгебраической суммы продольных сопротивлений волокон призмы", которая давала возможность определения нейтральной оси сечения. Кулон отметил также, что нейтральная ось смещается, если в некоторых волокнах нарушается закон Гука. Навье в 1821 году дал общие формулы равновесия упругого стержня при изгибе, показав, что, используя эти формулы, можно не только определить момент разрушения стержня, но и предупредить разрушение, задаваясь предельными напряжениями. Он впервые высказал гипотезу о том, что нормальное напряжение в волокне пропорционально его расстоянию от нейтральной оси.

Наряду с развитием работ Галилея в области статики упругих стержней шло исследование их изогнутой оси и колебаний. Яков Бернулли впервые в 1705 году дал уравнение изогнутой оси стержня в зависимости от внутренних усилий. Даниил Бернулли в 1751 году высказал Л. Эйлеру идею получения функции упругой кривой варьированием выражения энергии. Вывод уравнения плоской упругой кривой, а также метод нахождения собственных форм и частот принадлежит Леонарду Эйлеру, ему же принадлежат первые работы в области устойчивости сжатых стержней (1757).

Первые шаги в исследовании кручения стержней принадлежат Кулону. Это он впервые обратил внимание на деформацию, которую мы называем сдвигом. В 1787 году он ввел понятие момента инерции поперечного сечения волокна относительно оси сечения стержня, отметил пропорциональность жесткости волокна при кручении его моменту инерции. Следующий шаг был сделан Сен-Венаном, который в своих мемуарах о кручении (1855) использовал теорию Кулона и развил ее с учетом депланаций поперечных сечений, о которых впервые высказал мысль Коши в своей ошибочной теории о кручении призм в (1829). Сен-Венаном построена и теория об изгибе призм с учетом поперечного сдвига и деформации поперечных волокон. Исследованиями Сен-Венана, можно сказать, и завершилась теория изгиба и кручения призм.

В современные учебники по изгибу балок от поперечной нагрузки вошел метод Журавского - наглядный и инженерный, но повторяющий достижения Сен-Венана. Следует отметить, что именно Журавский впервые дал метод определения касательных напряжений при поперечном изгибе.

Все эти исследования основаны на предположении, что перемещения стержня (прогибы, углы закручивания) малы по сравнению с размерами поперечных сечений. Существование конструкций типа пружин, перемещения которых нельзя считать малыми, вызвало к жизни теорию Кирхгофа. В 1859 году он получил дифференциальные уравнения пространственной упругой линии стержня, находящегося в равновесии под действием сил, приложенных к его концам. Вместе с тем Кирхгоф показал кинематическую связь между уравнениями упругой линии прямого до деформации стержня и задачей о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки - кинетическая аналогия Кирхгофа. Основной заслугой Кирхгофа явилось то, что он доказал применимость общих уравнений типа уравнений Сен-Венана к бесконечно малой части тонкого стержня, имеющего большие перемещения, и получил дифференциальные уравнения, связывающие эти малые элементы. Клёбш в 1862 году предложил заменить выражения моментов в теории Кирхгофа соотношениями Сен-Венана, а также построил подобную теорию для случая криволинейных до деформации стержней. Теория Кирхгофа-Клёбша вызвала ряд приложений и уточнений по расчету пружин и устойчивости стержней. Почти во всех дальнейших работах, основанных на этой теории, используется лишь та часть, которая позволяет учесть естественную закрученность или предварительную криволинейность стержней в линейных задачах их расчета.

Двадцатый век, век бурного развития авиации, вызвал к жизни много принципиально новых конструкций, к которым оказалась применимой стержневая расчетная схема. Этот период знаменуется большими достижениями отечественных ученых в области прочности. Теория стержней развивалась в основном в двух направлениях, определяемых требованиями жизни и возможностями вычислительной техники: теория криволинейных и естественно закрученных стержней (лопастей винтов, лопаток турбин и компрессоров, пружин и т.д.) и теория расчета тонкостенных стержней (крыла, фюзеляжа, оперения, представляющих собой подкрепленные оболочки).

Развитие теории криволинейных и естественно закрученных стержней связано с именами Е.Л. Николаи, П.А. Вальтера, А.И. Лурье, Г.Ю. Джанелидзе, П.М. Риза, С.А. Тумаркина, И.В. Геккелера и других. Трудами этих ученых совершенствовались в основном линейные задачи расчета стержней малого прогиба (угла закручивания). Нелинейные задачи пространственно деформируемых стержней пока еще не получили достаточного развития, за исключением работ Е.П. Попова и его продолжателей, учитывающих большие перемещения стержня, деформируемого в одной плоскости, а также работ, связанных с определением напряженно-деформированного состояния вращающихся винтов, в которых учитываются инерционные силы, но разрешающихся линейными дифференциальными уравнениями.

Тонкостенные упругие стержни можно считать приобретением века. Бурное развитие авиации и ракетостроения, в которых они нашли применение, определило отношение к методам их расчета. Pоссийские ученые сыграли основную роль в становлении расчетных схем, апробировании основополагающих гипотез и создании инженерных теорий статики и динамики тонкостенных стержней.

Среди множества исследователей выделяются имена В.В. Власова, И.Ф. Образцова, А.А. Уманского, В.Н. Беляева, Ю.Г. Одинокова.

В основу всех известных нам работ о статических расчетах тонкостенных стержней положено предположение о малости перемещений оси тонкостенного стержня. Последнее предположение не позволило автору этих строк известными приемами решить задачу определения деформаций и исследовать явление катастрофического изменения формы оперения с отклоненным рулем, навешенным по статически неопределимой схеме [2-4]. Такой анализ возможен лишь с учетом геометрической нелинейности, с учетом больших перемещений стержней (стабилизатора, руля). Потребность в инженерной геометрически нелинейной теории расчета тонких и тонкостенных стержней, на наш взгляд, назрела. Даже при поверхностном знакомстве с развитием авиационных конструкций, видно, что деформативность агрегатов самолета (прогибы, углы закручивания) постоянно растет. На примере крыла это определяется двумя основными факторами: постоянным повышением удельной прочности материалов, допускающих большие относительные удлинения, а, следовательно, и кривизны, а также уменьшением относительных толщин крыла при значительном увеличении удельной нагрузки на него. Наблюдения статических испытаний самолета показывают, что прогибы крыла во много раз больше его толщин, следовательно, при расчете на прочность необходимо учитывать взаимное влияние нормальных и лобовых нагрузок. Антитезис этому - большая лобовая жесткость крыла и небольшие нагрузки в плоскости хорд. Да, не всегда можно говорить о взаимном влиянии.

Однако уже те задачи, которые описаны и поставлены в 1 части, позволяют нам сделать заключение об актуальности геометрически нелинейной теории расчета тонких стержней.