Развертка куба. Квадрат.

Дается игра-разминка «Путешествие попугайчика».

№2 (с 127). Сделайте развертку для куба с буквами на гранях (рис.9). Заполните все квадраты его развертки. Невидимые грани изображены отогнутыми.

Выполните такое же задание для куба с цифрами и его развертки (рис.10). невидимые грани изображены отогнутыми.

Рис.10

Целью изучения геометрического материала курса[13; с.1-164], построенного с учетом новой концепции образования, основная идея которой заключается в приоритете развивающей функции обучения, является развитие пространственного мышления как разновидности образного. Такое мышление характеризуется в первую очередь умением создавать пространственные образы объектов и оперировать ими.

Перед нами продолжение учебного пособия «Геометрия в пространстве, 5 класс».[14; с.1-122]

Основной обучающей целью нашего пособия является развитие умения выделять геометрические формы и отношения в окружающем ребенка мире.

В книге[13; с.1-164]рассматриваются различные объемные фигуры. Учащиеся знакомятся с частичной систематизацией фигур на уровне представлений и их свойствами на основе практических действий, а где возможно используют дедукцию.

Вторая глава посвящена рассмотрению некоторых видов симметрии как в пространстве, так и в плоскости, изучению движений. И здесь развивающая цель остается приоритетной.

Основной материал рассчитан на 35 уроков, которые отводятся по программе на изучение геометрического материала в 6 классе.

Планирование.

Часть I.

§1. Прямоугольный параллелепипед (брус)(2 ч).

§2. Площадь прямоугольника.
Объем прямоугольного параллелепипеда(3 ч).

§3. Призма. Многоугольники(4 ч).

Лабораторная работа(1 ч).

Лабораторная работа(2 ч).

§4. Взаимосвязь параллелограмма, ромба,
прямоугольника и квадрата(2 ч).

§5. Угол(2 ч).

§6. Прямой круговой цилиндр. Круг(2 ч).

§7. Измерение дуг и углов(2 ч).

§8. Шар(2 ч).

§9. Конус(2 ч).

§10. Пирамида(2 ч).

Итого: 26 часов.

Часть II.

§1. Общее представление о симметрии(1 ч).

§2. Вращение вокруг прямой. Поворотная симметрия(1 ч).

§3. Поворот плоскости вокруг точки.
Центральная симметрия(2 ч).

§4. Параллельный перенос. Переносная симметрия(1 ч).

§5. Зеркальная симметрия. Осевая симметрия(2 ч).

Итоговый урок(1 ч)

Итого: 8 часов.

Примеры.

§1 №4 (с 6). Какими способами можно составить брус из 8 одинаковых кубиков? Нарисуйте модели, которые вы получили, выполняя это задание.

§2 №4 (с 21). Сколько квадратов Б (рис.1а) поместится, если их укладывать сторона к стороне

а) на крышке стола (рис.1б);

б) на салфетках (рис.в – г);

в) в коридоре квартиры на той части пола, которая покрыта линолеумом (рис1.д)?

§3 №1 (с 35). Приготовьте 3-гранную и 5-гранную заготовки из сырого картофеля. Сделайте два параллельных разреза каждой заготовки так, чтобы отделить ту часть, которая располагается между режущими плоскостями. При этом будем считать режущие плоские поверхности достаточно широкими, чтобы они пересекали все боковые ребра заготовки.

§4. №6 (с.51). Пусть в красный «круг» попали все прямоугольники, а в синий – все квадратики. Нарисуйте, как будут расположены эти «круги» относительно друг друга.

§5. №2 (с.58). На предметах, изображенных на рис.2, покажите модели многогранных углов и назовите, какие они (n-гранный).

§6 №17 (с 73). Мышка из сказки «Курочка Ряба» разбивала хвостом не только золотые яйца, но, к сожалению, и блюдца. На рисунке 3 а – и изображены все осколки, сметенные бабушкой. Как вы думаете, сколько блюдец разбила мышка?

§7 №2 (с 78). Окружность разделена на две дуги, одна из которых в 8 раз

больше другой. Сколько дуговых градусов в каждой дуге?

§8 №6 (с 90). Какая фигура может быть пересечением двух сфер?

§9 №2 (с 91). Представьте цилиндр и мысленно отметьте две точки на окружности нижнего основания и две точки на окружности верхнего основания. Если провести через эти точки плоскость, какая фигура получится в сечении?

§10 №2 (с 99). На рисунке 4 найдите изображения моделей пирамид и выпишите их номера. Чем отличаются модели пирамид на этих рисунках друг от друга и что в них общего?

Часть II.

§1 №13 (с 112). На рисунке 5 а – в вы видите изображения фрагментов узора паркета, цветка и кружева. Используя кальку, нарисуйте эти предметы целиком.

§2 №9 (с 121). Какое нужно выполнить вращение, чтобы тело, изображенное на рисунке 6 а, заняло такое положение, как показано на рисунках 6 б – ж? где возможно, задайте оси вращения.

§3 №6 (с 136). Постройте относительно точки O фигуры, центрально-симметрические данным, изображения которых вы видите на рисунках 7 а – в.

§4 №11 (с 143). Рассмотрите гусеницу бабочки махаона (рисунок 8). Найдите на изображении этого представителя живой природы фрагмент, который почти точно повторяется параллельным переносом.

§5 №4. Приведите примеры архитектурных сооружений, обладающих зеркальной симметрией. Покажите на открытках с изображением этих зданий, как расположены их плоскости симметрии.

Возьмем фрагмент §5 из книги «Геометрия в пространстве - 5» [15; с.115] и фрагмент из книги «Геометрия в пространстве – 6»[13; с.15]. Эти книги представляют собой альтернативный курс геометрии, который носит развивающий характер и направлен на развитие пространственного мышления у детей средствами геометрии.

Нетрадиционная форма изложения материала, с использованием сказочных сюжетов и юмористических ситуаций, делает чтение этих книг увлекательным.

Нам дана сказка-контролька. По этой сказке-контрольке дети усваивают пройденный материал и предлагается ответить на вопрос: какие ожившие модели геометрических фигур могли так напугать лесных зверей.

Авторский комментарий. Встретившееся лисе существо может и не являться моделью прямой (окружность, кривая бесконечная). Целью выполнения этого задания является проверка сформированности представлений учащихся об отрезке, луче, прямой, поэтому в организационном плане такие задания могут предлагаться небольшие проверочные работы. Пронумеровав существа, которых встретили медведь, лиса и заяц, предложите ученикам напротив каждого номера написать названия или обозначения фигур, моделями которых могли быть эти существа.

Далее дается лабораторная работа-зачет. Этот урок также связан со сказочными героями. В главной роли – Незнайка. Он делал различные исследования.

Затем дается вопрос: «Согласны ли вы с «великим исследователем»?». Вылепите из пластилина все, что обследовал Незнайка:

а) сооружение у пруда;

б) павильон кривых зеркал;

в) памятник Призмалтесу;

г) стеклянный зверинец.

Определите, являются ли вылепленные вами модели призмами и обоснуйте свой ответ.

Как же подготовить учащихся
к изучению геометрии по учебникам Н. С. Подходовой[15; c.1-135], [13; с.1-164]

В новой концепции образования приоритетными целями являются развивающие. Рассматривая развивающие возможности математики, в большей степени говорят о развитии логического мышления. Но этот предмет, а точнее его геометрическая составляющая, имеет широкие возможности для развития образных компонентов мышления. Работая в геометрическом пространстве, мы создаем и оперируем образами, в которых выделены формы, расположение в пространстве, взаимное положение элементов, т.е. пространственными образами.

За эту деятельность отвечает пространственное мышление. И хотя цель его формирования в процессе обучения в школе ставится, недостаточный уровень развития пространственного мышления является препятствием усвоения геометрии. Причины: 1) в методике обучения математике не описываются пути создания условий, способствующих развитию умений создавать и оперировать пространственные образы, способы проверки их сформированности; 2) постановка развивающих целей требует учета наиболее благоприятных (сенситивных) для развития определенных компонентов мышления периодов. Деятельность образного мышления является приоритетной в возрасте 6 – 11 лет, поэтому пространственное мышление как разновидность образного необходимо развивать уже в начальной школе, а не в 15 лет, когда ученик говорит, что не может представить.

Образы являются личностными образованиями, и поэтому работа по их развитию требует направленности на ребенка при построении учебного предмета, учета его опыта. Этого требуют и особенности изучения геометрического пространства.

Разработка содержания и условия для развития пространственного мышления средствами геометрии требует осознания особенностей геометрического пространства от реального и перцептивного. Непонимание как учителями, так и учащимися этих особенностей часто является основой трудностей изучения геометрии. Эти особенности связаны с идеальностью геометрических фигур критерием выбора материальных моделей фигур в окружающем ребенка пространстве, спецификой оперирования в геометрическом пространстве.

В перцептивном пространстве действует ориентация «по схеме тела» (справа от себя, впереди себя…), в реальном «работают» также объективные «земные» ориентиры (горизонтальность, к югу…), а в геометрическом пространстве эти ориентиры отсутствуют, система отсчета постоянно меняется. Связанно с этим отличием умение переходить от точки отсчета, сосредоточенной в наблюдателе, к пространству с постоянно меняющейся точкой отсчета. С.Л. Рубинштейн называл «стержнем общего понимания пространства». Его формирование требует подготовительной работы. Но в начальной школе при изучении геометрического материала практикуется рисование на клетчатой бумаге, а значит по горизонтали и вертикали. Выполняя задание нарисовать линию, ученик чаще всего изображает прямую горизонтально или вертикально. И проводя с помощью угольника перпендикуляр к наклонной прямой, ученик часто располагает горизонтально или вертикально. Это результат практической деятельности, жизненного опыта, где превалируют горизонтальность и вертикальность. Поэтому желательно на уроках геометрии избегать изображать линии горизонтально и вертикально. Тем более, что согласно естественно-научным взглядом, любая прямая линия, расположенная на горизонтальной поверхности, является горизонтальной. Значит, в тетради, лежащей на горизонтальной поверхности стола, нельзя провести наклонные и вертикальные прямые линии. При использовании этих понятий необходимо договориться с учениками, что, работая в тетради, мы считаем ее расположенной как классная доска, что мы и делаем в курсе геометрии для I – IV классов, построенном с учетом специфики геометрического пространства. Приоритетной развивающей целью курса является развитие пространственного мышления. Курс разрабатывался в рамках личностно-ориентированной концепции на основе целостного подхода, который реализуется через базовые методические принципы (будут рассмотрены позже): приоритета целостности; открытой многозначности; фузионизма (плоские и объемные фигуры изучаются вместе, отношения рассматриваются сразу в пространстве); учета опыта ребенка (познает пространство ребенок с рождения). Опыт включает и эмоциональную составляющую, что учитывается в фабулах задач курса (личностные знания всегда эмоциональны). Последовательность учебного материала определяется закономерностями развития пространственного мышления и спецификой геометрического пространства. В деятельности пространственного мышления выделяют две ступени: 1) создание первичных (создаваемых на наглядной основе) и вторичных пространственных образов или представлений (создаваемых в отсутствии наглядной основы); 2) оперирование пространственного образа. Рассматривая первую ступень, необходимо учитывать, что в онтогенезе личности пространственных представлений развиваются от топологических пространственных представлений к метрическим через проективные. В школе же на уроках математики измерения с помощью линейки начинаются уже с 1 класса, хотя эта деятельность вряд ли является значимой для учеников.

Изучение геометрического материала может быть организовано через реализацию следующих этапов[12; c.10-13]:

1. Развитие топологических пространственных представлений, характеризующихся умением выделять объект на фоне, менять объект и фон местами, видеть внеположенность объектов, расположение относительно друг друга, выделять контур предмета, выделять области на основе интуитивных представлений о непрерывности и связности, различать внутреннюю и внешнюю области, границу фигуры.

2. Создание пространственных представлений, обладающих свойством полноты относительно взаимного положения объектов, через развитие образной памяти.

3. Развитие умения менять точку отсчета и пространственных проективных представлений (направленность на форму объектов, без внимания к метрике).

4. Выход в пространство с постоянно меняющейся точкой отсчета (геометрическое пространство).

5. Формирование представлений о конкретных геометрических фигурах и о геометрических отношениях на основе общей схемы формирования представлений о геометрическом объекте.

6. Уточнение пространственных образов в плане метрики.

7. Знакомство с элементами логики.

8. Формирование системы представлений – предпонятий на основе умения отличать род и видовые отличия геометрической фигуры.

9. Знакомство со структурными единицами пространственного мышления – преобразования (в частности, движениями).

Первый этап является базовым. Топология – общее свойство пространства. Топологические свойства обладают большей функциональностью, чем метрические.

Для корректировки топологических пространственных представлений учащимся может быть представлена следующая последовательность задач.

Выводы, к которым учащиеся подходят, выполняя задания:

1. Фон – это то, на чем что-либо выделяется.

2. Объект – предмет или явление, на которое направлена какая-нибудь деятельность, например, как в рассматриваемых нами условиях внимание.

Задача 1.

Путешествуя на воздушном шаре, коротышки из Цветочного города увидели внизу озеро (Рис.1). Авоська сбросил два мешка с песком, чтобы шар не опустился. Определи, в воду или на сушу упали мешки (обозначены цифрами 1 и 2).

Рисунок озера может рассматриваться как изображение геометрической фигуры. Вывод: из геометрической фигуры можно выделить внутреннюю область (на рисунке это – само озеро) и границу фигуры (стык берега и озера), которая отделяет внутреннюю область от внешней (берег).

Первые образы объектов, с которыми встречается ребенок, в том числе и образы фигур, согласно психологии, хорошо запоминаются. Поэтому намеренно озеро как образ фигуры имеет причудливые очертания, чтобы учащиеся не считали, как это часто встречается, что фигуры имеют только вполне определенные формы (выпуклого многоугольника).

Задача 2.

Учитель на полу (или ученик на столе) выкладывает замкнутый лабиринт из длинной веревки с завязанными концами так, чтобы она не пересекала и не касалась непрерывную линию – стену лабиринта, которая не пересекает и не касается самой себя (по всему лабиринту можно пройти), конец и начало ее совпадают /замкнутый/.

Согласно принципу фузионизма аналогичные задания предлагаются и в пространстве.

Задача 3.

Представь пустую закрытую комнату. Сколько областей можно выделить в этой комнате, если: а) в ней летает один воздушный шарик; б) летает один шарик и лопнул; в) в ней летают два воздушных шарика; г) летают два шарика, один из них находится внутри другого; д) летали два шарика, один из них лопнул. Зависит ли ответ от того, какой шарик лопнул?

Ответы: а) 2, б) 1, в) 3, г) 3, д) 2.

Задача 4.

Мороз «нацарапал» на оконных стеклах линии (Рис.2). Закрась разными цветами области. Запиши сколько областей в каждом окне.

Ответы: а) 2, б) 1, в) 2, г) 2, д) 2, е) 5

Многие задают вопрос: «Почему так трудно идет изучение геометрии в школе?»[11; с.54-58] Обычно такие причины связывают с курсом геометрии VII – XI классов. Но трудности усвоения – следствие традиционного обучения в начальных классах, причем они имеют и предметные, и психологические причины.

Рассмотрим сначала некоторые причины предметного характера. Предметные знания нужны ребенку в первую очередь для познания реального пространства, а обеспечиваются они на начальных этапах обучения через освоение перцептивного пространства. Однако геометрическое пространство, изучаемое в школе, является идеальным. Это означает прежде всего, что геометрические фигуры являются идеальными объектами.

В этом кроется глубокое противоречие: изучение идеальных геометрических объектов предполагает предъявление реальных предметов в качестве моделей этих объектов. В процессе обучения модели часто предъявляются произвольно. Если модель выбрана неудачно, то учащиеся начинают относить к существенным свойствам фигуры те, которыми обладает модель, но не сама геометрическая фигура.

Одними из первых геометрических фигур, с которыми знакомятся учащиеся I – IV классов, являются точка и прямая. Но их изучение требует развитого умения абстрагировать, что в начале знакомства с геометрией ведет к трудностям. Детям не скажешь, что точка – неопределяемое понятие. Им необходимо объяснить, показать, чем геометрическая точка отличается от уже знакомых им точек в рисовании, предъявить модель точки.

Выбор материальной модели геометрического объекта зависит от контекста ситуации, в которой эта модель предъявляется. В разных реальных ситуациях один и тот же предмет мы можем рассматривать как различные геометрические объекты.

Ориентация в геометрическом пространстве требует постоянной смены точки отсчета. Учащиеся должны осознать особенности геометрического пространства, а значит, целью обучения геометрии должно стать развитие у учащихся умения анализировать собственное восприятие пространства реального.

Обратимся теперь к причинам психологического характера.

Мир школьной геометрии требует постоянного обращения к образам, особенно на первых этапах знакомства с ним. Образная деятельность сложна, трудно поддается традиционному обучению в силу таких качеств образов, как субъективность, многозначность, целостность восприятия. Кроме того, успех в обучении образной деятельности сильно зависит от возраста обучаемых.

Конечно, можно многому научить ребенка и в тот период, который определят для этого взрослые люди. В психологии описаны наиболее чувствительные к развитию определенных психологических функций сенситивные периоды, которые необходимо учитывать при обучении.

Создание условий для деятельности учащихся в возрасте от 6 – 7 до 12 лет, направленной на оперирование образами, в которых выделены формы, расположение в пространстве, взаимное положение элементов, подготовит учащихся к работе в геометрическом пространстве. Поэтому развивающей целью обучения геометрии в I – VI классах является развитие пространственного мышления.

Обучающая цель – формирование самими учащимися системы обобщенных представлений, так называемых предпонятий, а не формирование понятий, как принято в традиционном обучении. С методической точки зрения это соответствует созданию объемов понятий, которые будут изучаться в старших классах.

Внимание к психологической основе реализации развивающих целей позволит: а) проследить продвижение ученика в плане развития пространственного мышления; б) выделить общую линию развертывания учебного геометрического материала, который в действующих программах представляет преимущественно отдельные сведения из разных тем геометрии.

Материал, излагаемый в учебниках по геометрии, определяется логикой науки геометрии, хотя само понятие «пространственное мышление» и процесс его развития относятся к области психологии. Например, пространственные представления развиваются в следующей последовательности: от топологических к метрическим через проективные. В школе же этот процесс имеет обратную последовательность. Но топологические свойства обладают большей фундаментальностью, чем метрические. В топологических структурах отражаются наши представления об окрестности, пределе, непрерывности. А в учебниках отсутствуют задания, направленные на создание у учащихся интуитивных представлений о непрерывности, об области как части пространства или плоскости, обладающей свойством непрерывности и связности. Но именно эти представления и должны работать в школьной геометрии в дальнейшем.

Внимание к рассмотренным аспектам психологического и предметного характера позволяет определить содержание геометрического материала в I – VI классах, решить проблему преемственности между начальной школой и средней.