Практическая работа №7 Предикаты. Операции над предикатами.

Цель работы: Изучить понятие предиката. Научиться выполнять операции над предикатами.

7.1 Ход работы:

1) изучить теоретический материал по теме практической работы (лекции, учебники);

2) выполнить задание своего варианта;

3) составить отчет по работе;

4) защитить работу.

Содержание отчета

Отчет по практической работе должен содержать:

1) тему работы;

2) цель работы;

3) ход работы;

4) формулировку заданий;

5) решение заданий своего варианта.

Методические указания к практической работе № 7

Основные понятия, связанные с предикатами

В высказывании все четко: это конкретное утверждение о конкретных объектах – истинное или ложное. Предикат – предложение, похожее на высказывание, но все же им не являющееся: о нем нельзя судить истинно оно или ложно.

Определение. N-местным предикатом, определенном на множествах М₁, М₂, …, М_n, называется предложение, содержащее n переменных х₁, х₂, …, х_n, превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств М₁, М₂, …, М_n соответственно.

Обозначение. Чаще всего предикаты обозначают большими латинскими буквами, а число переменных указывает на его размерность: P(x₁, x₂, …, x_n).

Предикат также называют функцией-высказыванием.

Пример.

Рассмотрим три высказывания:

А – «Рубль – валюта России»;

В – «Доллар – валюта России»;

С – «Доллар – валюта США».

Высказывания А и С – истинны, В – ложно. Если вместо конкретных наименований валюты в выражениях А, В подставить предметную переменную х и определить ее на множестве наименований денежных единиц М, то получим одноместный предикат

P(x): «х – валюта России», где х Î М.

Если же в высказывания подставить не только предметную переменную х, определенную на множестве М, но и вместо наименований стран ввести предметную переменную у, определенную на множестве названий стран У, то получим двуместный предикат:

Q(x, у): «х - валюта страны у», где х Î М, у Î У.

Чаще всего предикаты задают высказывательными формами, как показано выше. Однако предикат можно задать таблицей. Такой способ пригоден только для предикатов, область определения которых – конечное множество.

Пример.

Пусть задан одноместный предикат P(x), хÎ М, где М = {1, 2, 3, 4, 5}. Значение предиката можно задать таблицей:

Пример.

Предикат задан высказывательной формой Р(х): «в слове х буква «а» встречается не более двух раз», хÎ М, где М = {конь, стол, карандаш, зал, чаша, барабан}.

Построим таблицу значений для данного предиката:

Определение. Множеством истинности предиката Р(х₁, х₂, …, х_n), заданного на множествах М₁, М₂, …, М_n, называется совокупность всех упорядоченных n-систем (а₁, а₂, …, а_n), в которых таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание при подстановке х₁=а₁, х₂=а₂, …, х_n=а_n.

Это множество будем обозначать Р⁺.

Пример.

Определить множество истинности предикатов, заданных на соответствующих множествах:

1. Р(х): «х кратно 3», хÎ М, где М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2. G(x, y): «x² + y² < 0», (x, y) Î R´ R;

3. Q(x): «sin²x + cos²x = 1», хÎ R.

R – множество действительных чисел.

Решение.

1. Р⁺ = {3, 6, 9};

2. G⁺ = Æ;

3. Q⁺ = R.

Определение. Предикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n, называется:

1. тождественно-истинным, если при любой подстановке вместо переменных х₁, х₂, …, х_n любых конкретных предметов а₁, а₂, …, а_n из множеств М₁, М₂, …, М_n соответственно он превращается в истинное высказывание Р(а₁, а₂, …, а_n);

2. тождественно-ложным, если при любой подстановке вместо переменных х₁, х₂, …, х_n любых конкретных предметов из множеств М₁, М₂, …, М_n соответственно он превращается в ложное высказывание;

3. выполнимым (опровержимым), если существует, по крайней мере, один набор конкретных предметов, при подстановке которого вместо соответствующих переменных в предикат, последний обращается в истинное (ложное) высказывание.

С точки зрения множества истинности предиката истинны следующее утверждение.