Диаграммы Эйлера

Для неформальной проверки правильности умозаключений, включающих утверждения типа " для всех" и " для некоторого", используются так называемые диаграммы Эйлера, которые состоят из кругов, изображающих множества. Например, утверждению " Все р есть q" соответствует диаграмма, приведенная на рис.1 ниже, где круг, изображающий множество р, содержится в круге, изображающем множество q. Утверждение " Некоторые р есть q" представляется диаграммой на рис. 2, где мы видим, что пересечение кругов, изображающих множества р и q, непусто. Для проверки умозаключения необходимо попытаться построить диаграмму Эйлера, в которой посылки истинны, а заключение ложно. Если такое построение осуществимо, то умозаключение неправильно, если же нет, то это доказывает правильность нашего умозаключения.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим умозаключение

Все студенты колледжа выдающиеся

Все выдающиеся люди — ученые

Все студенты колледжа — ученые

В соответствии с посылками круг, изображающий студентов колледжа (СК), должен быть внутри круга, изображающего выдающихся людей (ВЛ), который, в свою очередь, должен быть внутри круга (У), изображающего ученых. Следовательно, круг студентов колледжа должен находиться внутри круга ученых, и умозаключение является правильным.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим умозаключение

Все поэты счастливы

Некоторые поэты ленивы

Некоторые ленивые люди счастливы

В соответствии с посылками круг, изображающий поэтов (П), должен быть внутри круга, изображающего счастливых людей (СЛ), а пересечение поэтов и ленивых людей (ЛЛ) должно быть непусто. Но это пересечение содержится в круге, изображающем поэтов, так что пересечение ленивых и счастливых людей непусто. Умозаключение правильно.

ПРИМЕР 3. Рассмотрим умозаключение

Некоторые поэты неудачники

Некоторые атлеты неудачники

Некоторые поэты являются атлетами

Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис.

Мы видим, что возможно построить такую диаграмму Эйлера, в которой пересечение кругов поэтов (П) и неудачников (Н) непусто и пересечение кругов атлетов (А) и неудачников непусто, так что посылки истинны, но при этом круги поэтов и атлетов не пересекаются, так что следствие не является верным. Следовательно, умозаключение не является правильным.

ПРИМЕР 4. Рассмотрим умозаключение

Все гении нелогичны

Некоторые политики нелогичны

Некоторые политики гении

На рисунке слева круг для гениев (Г) содержится внутри множества нелогичных людей (НЛ), а пересечение круга политиков (П) и круга нелогичных людей непусто, но круги политиков и гениев не пересекаются. Следовательно,

посылки истинны, но заключение ложно. Поэтому умозаключение не является правильным.