Лекция. Логарифмы и их место в алгебре

В формуле и словесной формулировке закона Вебера-Фехнера значится термин логарифм. К сожалению, далеко не каждый студент твердо понимает его смысл и не может практически вычислить логарифм даже в простейшем примере. Тем не менее не понимание логарифма делает затруднительным понимание закона Вебера-Фехнера, не говоря уже о расчете, при необходимости, величины интенсивности ощущения.

Восполним данный пробел, подойдя к пониманию логарифма, пройдя следующие обобщения.

Разделы математики (упрощенно):

1. Арифметика.

Арифметические действия:

1) сложение (+);

2) вычитание (–);

3) умножение (х);

4) деление (:).

Сложение и вычитание, умножение и деление являются взаимосвязанными.

Арифметические действия оперируют с дробями.

«Он такой умный, что знает все четыре действия арифметики, да еще и с дробями» (Г.Х. Андерсен, «Снежная королева», Герда о Кае при его поиске).

2. Алгебра.

Алгебраические действия:

5) возведение в степень;

6) извлечение корня;

7) вычисление логарифма.

Логарифм (от греч. Λ ό γ ο ς – «слово», «отношение» и ἀ ρ ι θ μ ό ς – «число»).

Логари́ фм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.

Обозначение: , произносится: «логарифм b по основанию a».

Из определения следует, что нахождение равносильно решению уравнения .

Например, , потому что .

Вычисление логарифма называется логарифмированием.

Логарифмическая функция незаменима во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т.д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный логарифм), e (натуральный логарифм, обозначаемый ) и 10 (десятичный логарифм обозначаемый ).

3. Высшая математика.

Основные действия:

8) интегрирование;

9) дифференцирование (нахождение производной функции).