Деформация и напряжения. (деформация кривая тут нету)

На основании закона Гука касательное напряжение равно τ =Gγ =Gθ r. Напряжение относительного сдвига в окрестности точки тела, находящейся на расстоянии ρ от оси: τ _p= Gθ r. То есть, касательные напряжения в точках сечения пропорциональны расстоянию их от оси стержня. Максимальные напряжения действуют вблизи наружной поверхности вала. Значение θ можно найти из условия, если касательные напряжения в сечении привести к паре, момент которой равен крутящему моменту М_кр. Выделим вокруг произвольной точки сечения элементарную площадку dA, на которой будет действовать элементарная окружная сила τ _pdA. Элементарный момент, этой силы на расстоянии относительно оси стержня, равен d М_кр= τ _pdA_p.

Распределение касательных напряжений в сечениях круглого и кольцевого валов.

Суммируя элементарные площадки, получим соотношение для крутящего момента в сечении М_кр=∫ _Аρ τ _pdA с учётом равенства τ _p=Gθ ρ, момент равен М_кр=∫ _Аρ ²θ GdA. Так как произведение θ Gпостоянно для всех точек сечения, то М_кр=θ G∫ _Аρ ²dA. ∫ _Аρ ²dA=J_p - полярный момент инерции сечения. Т.о., получаем М_кр=θ GJ_pdA, откуда угол закручивания на единицу длины стержня равен θ = М_кр/GJ_p. GJ_p - жесткость сечения стержня при кручении. Полный угол закручивания (в рад): φ =∫ ₀¹θ dx=∫ ₀¹М_крdx/ GJ_p. Если крутящий момент и момент инерции сечения постоянны по длине стержня, то полный угол закручивания: φ =М_крl/ GJ_p=λ _φ М_кр. - крутильная податливость стержня. Зависимость - полярный момент сопротивления.