Разность множеств. Разбиение множества на классы.

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации. Классификация - это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов. Цель классификации -это систематизировать наши знания. Например, в биологии имеется классификация животных, отхватывающая до 1, 5 млн. различных видов животных, в ботанике - классификация растений, включающая 500 тыс. видов растений. Классификация дает возможность рассмотреть многообразие в определенной системе, выделить интересующие нас виды растений и животных. Применяется классификация и в математике. Например, натуральные числа делятся на четные и четные, углы бывают острые, прямые, тупые. Классификация связана с расчленением некоторого множества объектов на подмножества. Если каждый элемент этого множества попадает в одно подмножество, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества и классы. Считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, …Хн, если: 1. подмножества Х1, Х2, …Хн попарно не пересекаются. 2. объединение подмножеств Х1, Х2, …Хн совпадает с множеством Х. Если не выполнено хотя бы одно условие, то классификацию считают неправильной. Множество Х треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, прямоугольные и треугольные. Выделение подмножества попарно не пересекается (среди остроугольных треугольников нет прямоугольных и тупоугольных, среди прямоугольных - тупоугольных) и их объединение совпадает с множеством Х. Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов. Возьмем множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел есть четные, нечетные, кратные 3, кратные 5. Например, нас интересуют натуральные числа, обладающие свойством делиться на 3. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про остальные можно сказать, что они не кратны 3, получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел.

Выделенные множества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N натуральных чисел. Т.о. задание одного свойства элементов множества натуральных чисел привело к разбиению этого множества на два класса: класс чисел, кратных 3 (числа 3, 6, 15) и класс чисел, не кратных 3 (числа 4, 5, 13)

Методика изучения устной и письменной нумерации чисел в пределах ста.

– Концентр чисел - группа чисел, изучающихся отдельно по общим принципам, методам программным требованиям.

– Нумерация чисел - образование числа, обозначение, счёт, предметное соотношение, место числа в числовом ряду, сравнение чисел, состав числа.

Обучение математике в начальных классах начинается с подготовительных занятий. Необходимость их диктуется чрезвычайной неоднородностью состава учащихся 1 класса, как по своим психофизическим данным, так и по подготовленности к обучению.

Задачами подготовительного периода являются, во первых, выявление имеющихся у детей знаний, во-вторых, подготовка к изучению систематического курса математики, в третьих, усвоение правил поведения в коллективе (слушать, правильно понимать и выполнять требования учителя, правильно сидеть за партой, вставать, выходить из-за партой, повторять задание учителя, задавать вопросы, отвечать на вопросы учителя и т.д.), что создает возможность работы с классом в школе. При изучении нумерации в пределах 100 школьники должны получить следующие знания, умения и навыки:

1. Научится считать до 100 в прямом и обратном порядке единицами и десятками.

2. Уметь присчитывать и отсчитывать по 1, по 10 и равными числовыми группами (по 2, 5, 20) как отвлеченно, так и на предметных пособиях.

3. Уметь пользоваться порядковыми числительными.

4. Знать место каждого числа в натуральном ряду чисел в пределах 100, понимать свойство этого ряда: каждое число на единицу больше предшествующего и на единицу меньше последующего.

5. Понимать десятичный состав чисел. Уметь различить число на разрядные слагаемые и составить число из разрядных слагаемых.

6. Уметь сравнивать числа, т.е. определять, какое число больше или меньше другого, равно ему.

7. Уметь записывать и читать числа первой сотни, понимать поместное значение цифр в числе.

Изучение данной темы начинается с применения интерактивного метода а именно стратегии «Кластер», и «Категориальный отбор». Ученикам предлагается ключевое слово «Число». Каждый ученик пишет на своем листке бумаги любое слово предложение понятие и т.д. Связанное его словом «Число».

Обсудив это переходим к нумераций в переделах «100».

Изучение темы осуществится в два этапа: сначала изучаются числа от 11 до 20 а затем от 21 до 100.

При изучении данной темы, учащиеся должен получить следующие знания, умения и навыки:

1. Научиться считать до 100 в прямом и обратном порядке единицами и десятками;

2. Уметь пользоваться порядковыми числительными;

3. Понимать для состав чисел;

4. Уметь сравнивать число, т.е. определить какое число больше им меньше другого

5. Уметь записывать и читать числа первой сотки, понимать поместное значение цифр в числа.

6. Знать, что такое дециметр и метр

Изучение нумерации в пределах 100 для детей связано с преодолением ряда трудностей. В период изучения чисел в пределах 100 закладывается основа понимания сущности десятичной системы: из 10 простых счетных единиц образуется новая (составная) счетная единица - сотня. Вот эту закономерность учащиеся усваивают с большим трудом. Здесь требуется основательная наглядная база, постоянное сравнение чисел первого, второго десятков и чисел 21-99, например: 2 и 20, 2 и 12, 1, 10, 100 и т.д. Учащиеся испытывают затруднения в запоминании названий круглых десятков, их последовательности и особенно их счете в прямом и обратном порядке. С большим трудом они запоминают названия десятков сорок и девяносто. Нередко по аналогии с образованием предыдущих числительных они соответственно называют их: «четырнадцать», «девять - десять», а при переходе к новому десятку считают: «двадцать девять, двадцать десять, двадцать одиннадцать» и т.д. Как при изучении предыдущих чисел, учащихся больше всего затрудняет счет в обратном порядке, присчитывание и отсчитывание равными числовыми группами. При изучении письменной нумерации многие учащиеся долго не усваивают позиционное значение цифр в числе: вместо 35 записывают 5З, при чтении чисел вначале произносят единицу, а потом десятки. Некоторые учащиеся, усвоив образование новых десятков, ещё долгое время испытывают затруднения в понимании образовании числа 100. Овладев устной нумерацией, некоторые учащиеся не могут овладеть письменной нумерацией. Некоторые наоборот, правильно записывают числовой ряд, а при устном пересчете допускают ошибки. Причины этих трудностей заключаются в трудностях самого математического материала, психических особенностях учащихся и в имеющих еще место недостатках организации изучения данного материала. Некоторая поспешность в отказе от использования наглядных пособий, недостаточное их разнообразие, недостаточное количество упражнений на закрепление данного материала при изучении последующих тем тоже приводят к затруднениям.

Последовательность изучения нумерации в пределах 100: повторение нумерации в пределах 10 и 20; изучения нумерации круглых десятков: изучение нумерации чисел от 21 до 99 (сначала устной, затем письменной).

Составьте план беседы для разбора задачи: «На одной улице поселка 46 домов, на другой на 5 домов больше, чем на первой, а на третьей их столько, сколько на первой и второй вместе. Сколько домов на третьей улице?»

№7. Декартово произведение двух множеств. Графическое изображение декартова произведения числовых множеств.

Для начальных классов в решении задачи: «Используя цифры 1, 2 и 3, образовать всевозможные двузначные числа» Путем перебора дети получают:

11 12 13 Запись каждого числа состоит из 2 цифр, причем существен порядок их

21 22 23 следования, например, из цифр 1 и 2 образовано два различных числа 12 и

31 32 33 21

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче мы говорим об упорядоченной паре. Упорядоченную пару, образованную от элементов а и в, принято обозначать (а, в), причем элемент а называется первый координатой (компонентой) пары, а элемент в - второй координатой пары. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит А, а вторая компонента принадлежит множеству В. Обозначают А В. Операцию, при помощи которой находят декартово произведение, называют декартовым умножением множеств. А= «1, 3, 6», В= «2, 5, 7, 8, 9» А В= «(1, 2)(1, 5)(1, 7)(1, 8)(1, 9) (3, 2)(3, 5)(3, 7)(3, 8)(3, 9) (6, 2)(6, 5)(6, 7)(6, 8)(6, 9)» Наглядное изображение декартова произведения двух числовых множеств можно получить при помощи координатной плоскости. Координатная плоскость - это прямая с заданным на ней началом отсчета, единицей длины и положительным направлением.

На рисунке точка М имеет координату 4, точка К - координату -2. С введением координатной прямой устанавливается связь между точками прямой и действительными числами: каждой точке М координатной прямой соответствует единственное число х - координата этой точки.

Ознакомление со сложением и вычитанием; обучение сложению и вычитанию чисел в пределах первого десятка.

Изучая нумерацию чисел, дети знакомятся с каждым числом (+1). В этот период в целях подготовки к сложению и вычитанию, следует показать, что прибавлять необходимо различные числа. Рассмотрим случаи сложения и вычитания в пределе 5 ( 2, 3, 4). Результаты действия находят путем присчитывания и отсчитывания. После того, как результат найден, обязательно выяснить, как его нашли. Состав присчитываемых чисел выглядит следующим образом:

4+2=6

4+1=5

5+1=6

Предварительно идет вопрос: Сколько всего прибавили? Вычли?

Ожидаемый вопрос: 1. рациональные приемы сложения и вычитания 2. сформированы прочные вычислительные навыки в пределах 10. 3. запоминание наизусть результатов сложения и вычитания, а также состав чисел и слагаемых. 4. решение простых задач по сложению и вычитанию. Нахождение суммы, остатка, увеличение, уменьшение, задачи на разностное сравнение. Нахождение неизвестного слагаемо. План изучения темы: 1. подготовительный этап: а 1 2. присчитывание и отсчитывание группами, случаи 2, 3, 4. На этом этапе важно выработать навыки счета. Нескольким урокам уделить упражнениям с вычитанием. 3. Сложение и вычитание 5, 6, 7, 8, 9. В качестве предварительной работы идет счет слева направо и наоборот. Основная тема этого этапа - переместительный закон сложения:

2+2=4

3+2=5

4+2=6 3+3=6

5+2=7 4+3=7

6+2=8 5+3=8 4+4=8

7+2=9 6+3=9 5+4=9

8+2=10 7+3=10 6+4=10 5+5=10

В этой части составляются задачи на состав числа второй пятерки (подготовка к вычитанию) 4. конечный этап. Изучение приемов вычитания на основе связи между суммой и слагаемыми. Например, для решения примера 8-5, необходимо знать состав числа 8. 8 это 5 и 3. Вычитаем 5 из суммы и получаем 3.