Примеры. 1. При составлении комплекта из 40 вариантов для тестирования используется 150 задач

1. При составлении комплекта из 40 вариантов для тестирования используется 150 задач. Каждый вариант включает 25 различных задач. Обратно, каждая задача соответствует нескольким вариантам, в которых она присутствует (т.е. образом каждого из 40 вариантов является некоторое множество из 25 задач; прообраз каждой из 150 задач – некоторое множество вариантов).

2. Каждой стране поставим в соответствие ее города с населением более 1 млн чел. Некоторым странам будут сопоставлены один или несколько городов; другим (таким, как Непал) не соответствует ни один город.

3. Каждой стране сопоставим столицу.

4. Поставим в соответствие человеку его родителей. Образом при этом соответствии для каждого человека является множество из двух элементов: его мать и отец. Прообразом каждого человека Ч является множество (быть может, пустое) его детей, т.е. тех людей, для которых Ч является матерью или отцом.

5. Каждому целому числу X сопоставим число 2 X ² (при этом, например, числам 3 и –3 соответствует число 18).

6. Каждому целому числу X сопоставим число X ³ (при этом числу 3 соответствует 27, а числу –3 – число –27).

7. Каждому действительному числу X сопоставим число X ³ – 9 X (при этом число 0 соответ-ствует трем числам: –3, 0 и 3, число 6 – двум числам: – и 2 , а число 28 – одному числу 4).

На рисунке 2.1 проиллюстрированы разные виды соответствия.

а) б) в)

Рисунок 2.1

На рисунке 2.1, а проиллюстрировано общее понятие соответствия: некоторым, не обяза-тельно всем, элементам множества А соответствуют один или несколько элементов множества В; при этом прообразы некоторых элементов множества В – пусты.

3.2. Однозначное (функциональное) соответствие A → B, или отображение множества A в множество B – это соответствие, при котором каждому элементу a Î A поставлен в соответствие единственный элемент b Î B. Например, площадь геометрической фигуры или объем пространственного тела суть их отображения в множество неотрицательных чисел.

Пример. Пусть П – множество сотрудников предприятия, А – множество букв русского алфавита. Отображение П → А, ставящее в соответствие каждому сотруднику первую букву его фамилии. Возможно, что есть несколько человек с фамилиями на одну букву. С другой стороны, ни одна фамилия не начинается с буквы Ь или Ъ.

Если A, B – числовые множества, то соответствие называется функцией (хотя иногда функциями называют и нечисловые соответствия). При этом А называется областью определения, а В – областью значений функции.

Упражнение. Определите, какие из соответствий семи предыдущих примеров являются функциональными.

Если f: A → B – однозначное соответствие и множество образов элементов A совпадает с множеством B (т.е. каждый элемент множества B соответствует одному или нескольким элементам множества A), то отображение f называется отображением множества A на множество B.

В примере 5 – отображение Z в Z, но не Z на Z (отрицательные числа не соответствуют ни одному значению); в примерах 6 и 7 – отображение Z на Z.

На рисунке 2.1, б представлено понятие функционального соответствия: образ каждого эле-мента множества А состоит из одного элемента множества В или пуст; прообраз элемента множества В может содержать более одного элемента (см. пример 5).