Примеры. 1. Множество жителей Москвы является подмножеством множества жителей России.

1. Множество жителей Москвы является подмножеством множества жителей России.

2. Множество всех квадратов является частью множества всех прямоугольников, а оно, в свою очередь, – подмножество множества всех четырехугольников.

3. Множество 5-этажных домов – подмножество множества всех домов.

Множество квартир не является подмножеством множества домов. Но в множестве квартир дома подмножествами являются, например, множество квартир 1-го подъезда, множество квартир 2-го этажа, множество двухкомнатных квартир. ■

Для числовых множеств N (натуральные числа), Z (целые числа), Q (рациональные числа), R (действительные числа), С (комплексные числа) выполнены включения: N Í Z Í Q Í R Í С.

Упражнение. Выяснить, какие из нижеследующих утверждений справедливы:

– множество положительных чисел является подмножеством множества целых чисел;

– множество положительных целых чисел является подмножеством множества натуральных чисел;

– множество нечетных чисел является подмножеством множества целых чисел;

– множество нечетных чисел является подмножеством множества четных чисел;

– множество натуральных чисел является подмножеством множества положительных чисел;

– множество окружностей является подмножеством множества эллипсов;

– множество окружностей является подмножеством множества эллипсов с равными осями;

– множество окружностей является подмножеством множества кривых второго порядка;

– множество треугольников является подмножеством множества четырехугольников;

– множество треугольников является подмножеством множества многоугольников;

– множество четырехугольников является подмножеством множества треугольников. ■

Множества А и В считаются равными: A = B, если A Í B и одновременно B Í A, то есть множества A и B состоят из одних и тех же элементов. При этом они могут задаваться по-разному. Пример – упомянутые выше множества Ц, Т, L, G, I заданы, с одной стороны, перечислением, с другой стороны – характеристическим свойством.

1.3. Соотношения между множествами наглядно иллюстрируются плоскими изображениями: их называют диаграммами Венна (а также кругами Эйлера). Множество на диаграмме образно представляется внутренностью фигуры, ограниченной замкнутой линией, а элементы, не принадлежащие множеству, располагаются снаружи. Взаимные расположения нескольких фигур на рисунках 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, представляющих различные множества, схематически изображают различные случаи соотношений между множествами.

Рисунок 1.1 Рисунок 1.2 Рисунок 1.3

Рисунок 1.1 изображает соотношение A Í B.

На рисунке 1.2 два множества, как говорят, «в общем положении»: три области, представляющие подмножества элементов: С – принадлежащих только множеству A; Е – принадлежащих только множеству B; D – принадлежащих обоим множествам. Аналогично на рисунке 1.3 – три множества в общем положении.