Общие теоретические сведения. Математическое программирование – раздел прикладной математики, занимающийся изучением задач отыскания экстремума функций на некотором множестве и разработкой

Математическое программирование – раздел прикладной математики, занимающийся изучением задач отыскания экстремума функций на некотором множестве и разработкой методов решения этих задач. Под общей задачей математического программирования понимают задачу отыскания точки экстремума (при этом всегда указывается конкретно: максимума или минимума) функции при условиях

где – некоторое множество в пространстве векторов . Функция называется целевой, а множество – допустимым множеством. Подобные задачи часто трактуются как оптимизационные и рассматриваются в рамках теории оптимизации. Заметим, что задача на максимум легко сводится к задаче на минимум и наоборот, т.к. например точка максимума функции совпадает с точкой минимума функции . В соответствии с изложенным, задача на максимум может быть поставлена в виде

, , (1.1)

где – n -мерное вещественное линейное пространство. Решить задачу (1.1) означает найти (хотя бы одну) точку , в которой . Задача отыскания всех точек не ставится с одной стороны из-за сложности, с другой по причине отсутствия практической потребности. Задачу (1.1), также как и другие задачи, в которых

, относят к классу задач конечномерной оптимизации.

Важной разновидностью задач математического программирования являются задачи линейного программирования. Задача линейного программирования может быть поставлена, например, следующим образом:

, , (1.2)

где – заданные числа , – линейные функции ,

Если в (1.2) хотя бы одна из функций нелинейна, то будем иметь задачу нелинейного программирования.

Задачи вида относят к классу задач безусловной оптимизации. Отметим также, что вместо целевой функции может быть использован целевой функционал, который, как известно, представляет собой числовую функцию, определенную на некотором множестве функций (например, это может быть интеграл, наибольшее значение функции на некотором множестве значений аргумента и т.д.).