Приближенное вычисление площадей плоских фигур

Пусть плоская фигура Р ограничена замкнутым контуром С. Выберем систему координат таким образом, чтобы рассматриваемая фигура лежала в пером квадранте. Будем предполагать, что любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает контур С не более, чем в двух точках. Спроецируем фигуру Р на ось Ох; в проекции получится отрезок [a; b].

Пусть А – точка фигуры с абсциссой х = а, В – точка фигуры с абсциссой х = b. Точки А и В разбивают контур С на две кривые верхнюю и нижнюю с уравнениями соответственно y = f(x) и y = g(x), где f(x), g(x) – непрерывные на отрезке [a; b] функции. Обозначим через Р площадь фигуры Р. Площадь Р будет равна разности площадей двух криволинейных трапеций:

аАтВb и aAhBb,

т.е. численно равна разности двух интегралов:

Приближенные значения этих интегралов могут быть вычислены по любой из квадратурных формул.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей

[х₀, х₁], [х₁, х₂], …, [ х_п-1; х_п]

(а=х₀, х₁, …, х_п=b).

Значения подынтегральной функции y= f(x) - g(x) будут вычисляться в узлах квадратурной формулы по соотношениям:

y_i= f(x_i) - g(x_i) (i = 0, 1, …, п).

Очевидно, что

y₀ = f(x₀) - g(x₀) = 0 и y_n= f(x_n) - g(x_n) = 0

Значения y_i – длины отрезков ординат в узловых точках, заключенных внутри фигуры Р. Если аналитические выражения функций f(x) и g(x) неизвестны, то y_i можно измерить, пользуясь чертежом.