Лекция 8. Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев и систем

На рисунке 62 выше горизонтальной оси указаны значения частот, ниже оси – их десятичных логарифмов.

Отметим следующие обстоятельства, характерные для используемого логарифмического масштаба:

1. Отрицательные частоты не рассматриваются.

2. Отметка частоты w=0 на оси отсутствует. При w®0 lg w® -¥, и соответствующие отметки частоты смещаются по горизонтальной оси влево в бесконечность.

3. Вертикальная ось проводится через отметку частоты, соответствующую нижней границе диапазона существенных частот для изображаемых характеристик.

4. Изменению значения частоты в k раз соответствует отрезок оси постоянной длины независимо от его расположения на оси (то есть абсолютных значений частот).

5. Отрезок горизонтальной оси, соответствующий десятикратному изменению частоты, называется декадой. Длина декады, очевидно, постоянна независимо от ее расположения на оси.

На вертикальной оси откладываются в линейном масштабе значения L (w) в децибелах. С горизонтальной осью совмещается отметка 0 дБ.

Логарифмическая фазо-частотная характеристика строится совместно с ЛАХ, причем горизонтальная ось у обеих характеристик полностью совпадает, а вертикальная ось для ЛФЧХ совмещается с вертикальной осью ЛАХ следующим образом:

1. Направление положительного отсчета значений ЛФЧХ – вниз.

2. С отметкой 0 дБ для ЛАХ (пересечение с горизонтальной осью) совмещается отметка -180° для ЛФЧХ.

9. Колебательное звено:

, 0< x< 1,

,

,

,

Рассмотрим построение асимптотической ЛАХ.

Под корнем в выражении для ЛАХ здесь присутствуют несколько слагаемых. Тем не менее, принцип построения сохраняется. Сопрягающая частота находится из условия равенства двух слагаемых – содержащих низшую и высшую степень частоты:

, .

На низких частотах, w< < 1/ T, всеми слагаемыми, содержащими произведение w T, можно пренебречь по сравнению с единицей (w T < < 1). В результате выражение для ЛАХ приближенно примет вид:

.

Это уравнение горизонтальной прямой – асимптоты точной ЛАХ при w®0.

На высоких частотах, w> > 1/ T, под корнем можно пренебречь всеми слагаемыми, кроме содержащего высшую степень частоты. Выражение для ЛАХ приближенно примет вид:

.

Это выражение для прямой с наклоном –40дБ/дек, причем при w T =1, то есть на сопрягающей частоте она проходит через точку с вертикальной координатой 20lg k. Эта прямая является асимптотой точной ЛАХ при w®¥. Здесь, как и в предыдущих примерах, асимптоты ЛАХ пересекаются на сопрягающей частоте (рисунок 67а), что является общим правилом.

Закономерность формирования погрешностей асимптотической ЛАХ для колебательного звена является более сложной, чем в предыдущих примерах.

Прежде всего, оценим величину этой погрешности на сопрягающей частоте. Для асимптотической ЛАХ получим:

.

Для точной ЛАХ:

.

Величина погрешности зависит от величины x и изменяется от –6 дБ при x®1 до сколь угодно больших положительных значений при x®0.

Этот эффект обусловлен резонансными свойствами колебательного звена и в общем случае не позволяет при его анализе ограничиваться использованием только асимптотической ЛАХ.

Точные ЛАХ колебательного звена для различных значений x показаны на рисунке 67а. По ним видно, что резонансная частота, доставляющая максимум ЛАХ, отличается от сопрягающей. Резонансная частота w_р может быть найдена из условия:

.

Общие рекомендации по использованию асимптотической ЛАХ для рассматриваемого примера сводятся к следующему:

- при больших значениях x, когда резонансный пик отсутствует или не превышает величины 3дБ, допустимо использование асимптотической ЛАХ;

- при малых x, когда высота резонансного пика превышает 3дБ, должна использоваться точная ЛАХ.

ЛФЧХ для различных x показаны на рисунке 67б.

Рассмотрим правила построения асимптотических ЛАХ для более сложных передаточных функций на следующем примере:

,

где k =40с^-2, T ₁=0, 5с, T ₂=2, 5с, T ₃=20с, T ₄=0, 01с.

Выражения для АЧХ и точной ЛАХ будут иметь вид:

,

.

Наиболее распространенная в литературе рекомендация сводится к рассмотрению выражения для ЛАХ сложного звена как суммы выражений для ЛАХ рассмотренных выше звеньев, каждому из которых соответствует максимум одна сопрягающая частота. Асимптотические ЛАХ этих звеньев представляют собой линейные (для первых двух слагаемых) или кусочно-линейные (для остальных слагаемых) характеристики, состоящие из низкочастотной асимптоты, совпадающей с горизонтальной осью, и высокочастотной асимптоты с соответствующим наклоном, пересекающихся на сопрягающей частоте. Если общее выражение для ЛАХ записывать так, чтобы в отдельных слагаемых под знаком логарифма оставались выражения вида , то наклоны таких асимптот будут совпадать по величине с коэффициентами при . Результирующий график асимптотической ЛАХ может быть получен сложением графиков отдельных слагаемых.

Более удобным является предлагаемый ниже способ (при сохранении сформулированного правила записи выражения для ЛАХ). Он состоит в следующей последовательности действий.

1. Определяются сопрягающие частоты, соответствующие отдельным слагаемым, и записываются в порядке возрастания:

с^-1; с^-1; с^-1; с^-1.

2. Выбирается масштаб для оси частот так, чтобы крайние сопрягающие частоты располагались на расстоянии от 0, 5 до 1 декады от краев видимой горизонтальной оси. Через сопрягающие частоты проводятся вертикальные пунктирные прямые (рисунок 68). Пунктирные прямые делят все поле графика на зоны, которым соответствуют отрезки различных асимптот ЛАХ (участки асимптотических ЛАХ). Построение асимптотической ЛАХ далее выполняется последовательно по участкам, начиная с первого.

3. Первый участок расположен левее всех сопрягающих частот. Следовательно, его уравнение, получаемое по условию w< < 1/ T_i (i =1, 2, 3, 4), будет иметь вид:

.

Это уравнение прямой с наклоном –20 дБ/дек. Для ее построения необходимо найти опорные точки. Например:

- w=1 с^-1: L ⁽¹⁾(1)=20lg k= 20lg40=32 дБ;

- w=0, 1 с^-1: L ⁽¹⁾(0, 1)=20lg40 - 20lg0, 1=32+20=52 дБ.

В качестве опорной может также использоваться точка пересечения данной прямой с горизонтальной осью, координаты которой могут быть найдены из условия L ⁽¹⁾(w₁)=0:

,

, с^-1.

Для последующего построения потребуется также точка пересечения первого участка асимптотической ЛАХ с границей участка. Ее координаты: с^-1, L ⁽¹⁾(0, 05)=20lg40 - 20lg0, 05=32+26=58 дБ.

Отрезок асимптотической ЛАХ, выходящий за пределы соответствующего участка, показывают пунктирной линией (рисунок 69).

4. Второй участок расположен правее сопрягающей частоты 1/ T ₃, которой в выражении для ЛАХ соответствует коэффициент –60. По аналогии с рассмотренными выше примерами 7-9 можно придти к выводу, что наклон второго участка по сравнению с первым изменится на величину –60 дБ/дек и составит –80 дБ/дек (рисунок 70). Координата левой границы участка получена выше: (0, 05 с^-1; 58 дБ). Длина участка вдоль горизонтальной оси в соответствии с используемым логарифмическим масштабом составляет декады. Следовательно, асимптотическая ЛАХ на данном участке получит приращение:

–80 дБ/дек ´ 0, 9 дек = –72 дБ,

и координаты правой границы участка будут равны:

w=0, 4 с^-1; L ⁽²⁾(0, 4)=58 –72= –14 дБ.

5. Третий участок разделен со вторым сопрягающей частотой 1/ T ₂. Дополнительный наклон по отношению ко второму участку равен +40 дБ/дек (рисунок 71). Следовательно, наклон участка составит –40 дБ/дек. Длина участка декады, координаты правой границы:

w=2 с^-1 и L ⁽³⁾(2)= –14 – 40дБ/дек ´ 0, 7дек= –42 дБ.

6. Четвертый участок разделен со третьим сопрягающей частотой 1/ T ₁. Дополнительный наклон по отношению к третьему участку равен +20 дБ/дек (рисунок 72). Следовательно, наклон участка составит –20 дБ/дек. Длина участка декады, координаты правой границы:

w=100 с^-1 и L ⁽⁴⁾(100)= –42 – 20´ 1, 7= –76 дБ.

7. Пятый участок разделен со четвертым сопрягающей частотой 1/ T ₄. Дополнительный наклон по отношению к четвертому участку равен –20 дБ/дек. Следовательно, наклон участка составит –40 дБ/дек. Для его построения необходимо рассчитать в дополнение к начальной еще одну его точку на любой частоте, например: w=200 с^-1 и L ⁽⁵⁾(200)= –76 – 40´ 0, 3= –88 дБ.

Результирующая асимптотическая ЛАХ показана на рисунке 73.

Пунктиром на рисунке 74 добавлена точная ЛАХ для рассматриваемого примера. Сопрягающие частоты и удалены от ближайших к ним сопрягающих частот на расстояние более 0, 7 декады. Поэтому на этих частотах погрешности равны соответственно 9 и 3 Дб. В окрестности сопрягающих частот и их взаимное влияние приводит к некоторому увеличению погрешности.