Эйлеровы графы.

Эйлеровым путем графа G(V, E) называется путь e₁, e₂,..., e_t такой, что каждое ребро появляется ровно 1 раз, т.е. t=|Е|. Граф G(V, E) называется эйлеровым, если он имеет замкнутый эйлеровый путь, и полуэйлеровым, если существует эйлеров путь, не являющийся замкнутым.

Теорема 1. Связный граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда каждая вершина G имеет четную степень.

Предположим, что Р является эйлеровым циклом в графе G. Тогда при всяком прохождении цикла через любую вершину графа используется одно ребро для входя и одно ребро для выхода. Поскольку каждое ребро используется один раз, то каждая вершина должна иметь четную степень. Обратное утверждение доказываем индукцией по числу ребер в графе G. Пусть граф G связен и степень каждой вершины четна. На основании Факта 3 граф содержит цикл С. Если С содержит каждое ребро, то все доказано. Если же нет, то удаляем из графа G все ребра, принадлежащие циклу С. Получаем новый граф G₁, возможно несвязный. Число ребер в G₁ меньше чем в G, и каждая вершина имеет четную степень. По индуктивному предположению в каждой компоненте графа G₁ имеется эйлеров цикл. В силу связности графа G каждая компонента графа G₁имеет общие вершины с циклом С. Теперь проходим ребра графа G следующим образом: идем по ребрам цикла С до первой неизолированной вершины графа G₁. Затем проходим эйлеров цикл в компоненте графа G₁, затем снова двигаемся по циклу С до следующей неизолированной вершины графа G₁. Ясно, что процесс заканчивается в исходной вершине, что и показывает существование эйлерова цикла. Аналогичным образом доказывается

Теорема 2. Связный граф G является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда в нем существует точно две вершины нечетной степени.

Аналогичное определение можно сделать для ориентированных графов. Ориентированный эйлеров путь это ориентированный путь, содержащий каждую дугу точно один раз. Ориентированный граф называется эйлеровым, если в нем существует ориентированный эйлеров путь. Аналогично теореме 1 можно доказать следующее утверждение. Теорема 3. Ориентированный граф G(V, E), у которого связан соответствующий скелетный граф, является Эйлеровым тогда и только тогда, когда либо для всех вершин v, d_i(v)=d₀(v), либо существуют точно две вершины v₁ и v₂ такие, что d₀(v₁) = d_i(v₁)+1, d₀(v₂)+1=d_i(v₂), а для остальных вершин

d_i(v)=d₀(v). (3)

В первом случае любой эйлеров путь является ориентированным циклом, во втором -начинается в вершине v₁ заканчивается в вершине v₂.

Теорема 4. Пусть G - связный граф, имеющий точно 2s > 0 вершин нечетной степени. Тогда существует s и не существует меньшего числа путей P₁,..., P_s, которые в совокупности содержат все ребра графа G точно по одному разу. При этом каждый из путей P₁,..., P_s начинается в одной нечетной вершине и кончается в другой.

Согласно факта 1 в графе G имеется четное число 2s вершин нечетной степени. Разобьем эти вершины на s пар (v₁, w₁),..., (v_s, w_s). Образуем теперь новый граф G₁, добавив каждой паре (v_i, w_i) ребро. Тогда G - связный граф, у которого все вершины четны. Согласно теореме 1 в графе G₁ существует эйлеров цикл С, проходящий по всем ребрам точно по одному разу. Удалим из цикла С добавленные ребра и получим s путей P₁,..., P_s, проходящих каждое ребро точно один раз. Ясно, что каждый путь начинается и кончается в нечетной вершине. Пусть теперь имеется t путей t < s P₁,..., P_t, содержащих все ребра графа G. Тогда каждая нечетная вершина должна быть концом пути и, значит, имея 2s нечетных вершин, нельзя покрыть все ребра графа G менее, чем s путями.

Приведем теперь алгоритм построения эйлерового пути в данном эйлеровом графе.

Теорема 5. Пусть G - эйлеров граф. Тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к построению эйлеровом цепи графа G.

Выходя из произвольной вершины, идем по ребрам графа произвольным образом, соблюдая следующие правила:

1) стираем ребра по мере их прохождения (вместе с изолированными вершинами, которые при этом образуются);

2) на каждом этапе идем по ребру, удаление которого нарушает связность, только в том случае, когда нет других возможностей.

Убедимся сначала, что указанная процедура может быть выполнена на каждом этапе. Пусть мы достигли некоторой вершины v, начав с вершины u, . Удалив ребра пути из v в u, видим, что оставшийся граф G₁ связен и содержит ровно две нечетных вершины v и u. Согласно теореме 2 граф G₁ имеет эйлеров путь Р из v в u. Поскольку удаление первого ребра инцидентного u пути Р либо не нарушает связности G₁, либо происходит удаление вершины u и оставшийся граф G₂ связен с двумя нечетными вершинами, то отсюда получаем, что описанное выше построение всегда возможно на каждом шаге. (Если v=u, то доказательство не меняется, если имеются ребра, инцидентные и). Покажем, что данная процедура приводит к эйлерову пути. Действительно, в G не может быть ребер, оставшихся непройденными после использования последнего ребра, инцидентного и, поскольку в противном случае удаление ребра, смежному одному из оставшихся, привело бы к несвязному графу, что противоречит 2).

В качестве одного из применений эйлеровых графов приведем следующее. Пусть А = {0, 1,..., m-1} - алфавит из m букв. Ясно, что имеется mⁿ различных слов длины п в алфавите А. Последовательностью де Брейна называется циклическое слово a₀a₁... a_L-1 в алфавите А, такое, что подпоследовательности вида а_iа_i+1 ... а_i+n-1 i=0,..., L-1 состоят из всех возможных L=mⁿ слов длины n. Наиболее важный случай для приложений m=2. Последовательности де Брейна производятся полноцикловыми регистрами сдвига. Покажем существование последовательностей де Брейна. Пример. n=l, m=2 01

n=2, m=2 0011

Определим ориентированный граф G_{m, n}(V, E) следующим образом:

1) V является множеством всех m^n-1 слов длины n-1 над А.

2) Е является множеством всех mⁿ слов длины n над А.

3) дуга (a₁, а₂,..., a_n) имеет начальной вершиной (a₁,..., а_n-1) и конечной вершиной (а₂,..., а_n).

Приведем граф G_{2, 3}:

Ясно, что последовательности де Брейна соответствует замкнутый путь в графе G_{m, n}, содержащий каждую дугу точно один раз. Обратно, ориентированный цикл в G_{m, n}, содержащий каждую дугу точно один раз, приводит к построению цикла де Брейна, если выписывать соответствующие дуги подряд.

Пример. Для графа G_{m, n} имеем эйлеров путь

000, 001, 011, 111, 110, 101, 010, 100

а соответствующую последовательность де Брейна

Теорема 6. Для любых целых тип граф G_{m, n} имеет ориентированный эйлеров цикл.

Покажем сначала, что граф G_{m, n} сильно связен, а значит его соответствующий скелетный граф связен. Действительно, пусть b₁,...,

b_n-1 и c₁,..., c_n-1 две вершины. Тогда, их соединяет следующий ориентированный путь

(b₁, b₂,..., b_n-1, c₁), (b₂,..., b_n-l, c₁, c₂),..., (b_n-l, c₁,..., c_{n- l}).

Далее d_i(v) = d₀(v) = m для любой вершины v. Действительно, из вершины v =(b₁, b₂,..., b_n-1) выходят дуги вида:

(b₁, b₂,..., b_n-1, c)

и входят дуги вида (с, b₁,..., b_n-1), с А. Теперь по теореме 3 в графе G_{m, n}существуют эйлеровы циклы.

Следствие. Для любых целых m, n последовательности де Брейна существуют.

Известен следующий результат.

Теорема 7. Для любых натуральных m, n существует точно последовательностей де Брейна.