Натуральные числа и принцип математической индукции

Элементы логики и интуитивной теории множеств

Союзы “и”, “или, “если …, то…”, «тогда и только тогда, когда» и частица «не» (словосочетание «неверно, что») называются логическими или сентенциональными связками. Посредством логических операций из высказываний образуют составные высказывания.

В импликации высказывание называется антецедентом (от латинского antecedens – “предшествующий”), а высказывание – консеквентом (consequens – “последующий”). Из определения импликации следует, что:

Импликация с ложным антецедентом всегда истинна;

Импликация с истинным консеквентом всегда истинна;

3) импликация ложна тогда и только тогда, когда её антецедент – истинный,

А консеквент – ложный.

Понятие множества является одним из основополагающих в математической науке и не подлежит определению. Однако, из методических соображений мы всё-таки приведём соответствующее “наивное” определение. Согласно Г. Кантора “множество есть любое собрание определённых и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое”.

Историческая справка. Теория множеств явилась абстрактным результатом исследований немецкого математика Г. Кантора по таким важным разделам математического анализа, как числовые последовательности и тригонометрические ряды.

Натуральные числа и принцип математической индукции

Здесь мы начнём с программного заявления немецкого математика Л.Кронекера, который в середине XIX века выразился так: “Господь Бог создал натуральные числа, все остальное – дело рук человеческих”.

В начале XX века итальянский математик Дж. Пеано предложил аксиоматическое построение множества , где – множество натуральных чисел. Из трёх сформулированных им аксиом вытекают свойства сложения, умножения и линейного упорядочения натуральных чисел, точнее, элементов множества . Кроме того, выводится следующее утверждение.

Каждое непустое подмножество множества имеет наименьший элемент.

На основании последнего доказывается

Принцип математической индукции. Пусть для каждого формулируется некоторое утверждение . Если истинны утверждение

и импликация , то утверждение истинно .