Элементы теории подобия

Основные понятия

В современной науке и технике, когда необходимо решить какие-либо задачи, прежде всего, стремятся составить математические уравнения, описывающие эти задачи, и их решить. Если такие уравнения составить не удается или если они не решаемы, то для установления необходимых зависимостей между интересующими величинами проводят экспери­ментальные исследования. Однако в промышленности достаточно часто встречаются такие агрегаты, непосредственное исследование которых значительно затруднено или вообще невозможно. К таким агрегатам относятся и металлургические печи, работающие при высокой темпера­туре рабочего пространства. В некоторых случаях единственно возмож­ным методом исследования процессе», протекающих в рабочем про­странстве, является метод исследования на модели печи. При этом про­цессы в модели должны быть подобны процессам, протекающим в печи. Для достижения этого необходимо, чтобы при создании модели и про­ведении опытов на ней были выдержаны условия, определяемые совре­менной теорией подобия.

Какие условия необходимо соблюдать, чтобы добиться подобия двух физических явлений? Основными условиями, вытекающими из теории подобия, являются следующие:

1. Должны быть тождественны (одинаковы) безразмерные математические уравнения, описывающие два явления. Это условие говорит о том, что такие два явления должны быть прежде всего схожи между собой в самом общем виде. Можно, например, искать подобие между движением газа по трубопроводу большого диаметра и воды в водо­проводной трубе. Это возможно, поскольку физическая природа этих двух явлений аналогична. Но бессмысленно искать подобие между дви­жением жидкости по трубе и распространением тепла в твердом теле, потому что природа этих явлений различна и математические уравне­ния, их описывающие, не могут быть тождественны. Однако обязатель­ной тождественности основных уравнений еще недостаточно для обеспе­чения подобия двух физических явлений. Необходимо еще соблюдение второго условия.

2. Кроме тождественности основных безразмерных уравнений, для соблюдения подобия необходимо подобие условий однозначности. Условиями однозначности являются такие условия, которые из массы явлений, природа которых аналогична и которые описываются анало­гичными уравнениями, выделяют какое-то конкретное явление. Одним из таких условий является, например, геометрическое подобие двух рас­сматриваемых явлений. Но этого еще недостаточно. Рассматриваемое ниже уравнение Бернулли для течения реальной жидкости справедли­во для огромного множества видов течения различных жидкостей. Что­ бы из этого множества течений выделить два подобных, необходимо (кроме геометрического подобия) подобие вязкостно-скоростных харак­теристик.

Справедливость обеспечения этих условий для достижения подобия может быть проиллюстрирована на примерах геометрического и гидро­динамического подобия.

Остановимся сначала на той форме записи, которая используется в теории подобия. Вообще термин «подобие» заимствован из геомет­рии. При рассмотрении подобия двух треугольников АВС и А'В С' по­добие в геометрии записывается так:

АВ/А' В' = ВС/В' С' = АС/ А' С' = с.

Величину с называют константой подобия. Она вполне определенна для каждой пары подобных треугольников. Однако подобных треуголь­ников может быть сколько угодно много, поэтому форма записи подо­бия через константу подобия не является достаточно универсальной. Для получения более универсальной записи воспользуемся методом масштабных преобразований. Выберем в качестве единицы измерения не стандартную единицу, метр, как это было сделано при определении константы подобия, а какие-либо сходственные отрезки. Допустим, в подобных треугольниках АВС и А'В'С' единицами измерения являются стороны АС и А'С'. Тогда для этих треугольников можно написать:

АВ/АС = А' В'/А' С' = …= і_АВ или ВС/АС =

= В' С'/А' С' =... = і_ВС

Числа і остаются неизменными для всех подобных фигур и потому называются инвариантами подобия. Если константы подобия зависят от относительного размера подобных фигур, то инварианты подобия ос­таются неизменными для любого числа подобных фигур. Отрезки АС и А'С', выбранные в качестве единиц измерения, называют мас­штабами, отсюда и название «ме­тод масштабных преобразований». С помощью метода масштаб­ных преобразований можно показать, что уравнения, описывающие подобные системы после приведе­ния их к безразмерному виду, тождественны. Как следует из теории по­добия, тождественность безразмерных уравнений есть одно из главных условий подобия систем. Проиллюстрируем это следующим примером. Рассмотрим два подобных эллипса (рис. 1), которые описываются урав­нениями

Чтобы привести уравнения эллипсов к безразмерному виду в ка­честве масштабов измерения, возьмем сходственные полуоси а и а ₁. Будем выражать инварианты подобия через X, Y, А, В. Таким образом,

Х = х/а; Y = у/а; А = а/а; В = b/а;

Х ₁ = х ₁ /а; Y ₁ = у ₁ /а ₁; А ₁= а ₁ /а ₁; В ₁ = b ₁ /а ₁;

Но поскольку эллипсы подобны, постольку равны их инварианты подобия, т. е.

X = X ₁, Y = Y ₁, A = A ₁, B = B ₁

Выразим каждую величину, входящую в основные уравнения эллип­сов, через соответствующие инварианты подобия:

х = аХ; у = а Y; b = аВ;

х ₁= а ₁ Х ₁; у ₁ = а ₁ Y ₁; b ₁= а ₁ В ₁.

Подставляя эти значения в основные уравнения и имея в виду, что А=А ₁ = 1, получаем тождественные уравнения для этих двух эллипсов:

Но соответствующие инварианты равны, поэтому для всех подоб­ных эллипсов основные уравнения тождественны уравнению

Метод масштабных преобразований применим и к физическим явле­ниям, уравнения которых в отличие от геометрических уравнений вклю­чают величины, имеющие различную размерность. Поэтому при рассмот­рении подобия физических явлений следует сравнивать величины с оди­наковой равномерностью.