Основные дифференциальные уравнения фильтрации жидкости

С разработкой пластов-коллекторов трещиноватого типа появи­лась необходимость дальнейшего более глубокого развития теории фильтрации жидкости. При этом пришлось пойти по пути, харак­терному для механики сплошных сред, и считать, что в каждой точке пространства существует два давления: средние давления жидкости в порах коллектора и в трещинах. Кроме того, потребовалось учитывать взаимозаменяемость жидкостей, содер­жащихся в трещинах и порах.

Применительно к этим условиям, рассматривая пласт как сумму пористых и проницаемых блоков, разделенных системой трещин, и считая, что размеры трещин значительно больше раз­меров пор, вследствие чего жидкость течет в основном по трещи­нам, Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов и И. Н. Кочина получили систему уравнений, описывающую процесс фильтрации однород­ной жидкости в среде с двойной пористостью

(XVII.1)

где Р_т — давление жидкости в трещинах в Па; Р_п — давление жидкости в блоках в Па; χ _т — коэффициент пьезопроводности трещиноватой среды, соответствующий проницаемости системы трещин К_т, пористости m_оп, сжимаемости блоков β _сп и сжимае­мости жидкости β _ж,

χ _т = К_т/[μ _ж (β _сп + m_оп—β _ж)] (XVII.2); τ ₃ — время запаздывания переходных процессов в с; ε _т, β *, β _г* — эф­фективные сжимаемости в элементарном объеме в Па^-1; к, ε _п, К_т — проницаемость соответственно трещин и блоков в м²; μ _ж — дина­мическая вязкость жидкости в Па*с; t — время восстановления давления в с.

Рассмотрим подробнее некоторые особенности предложенной системы уравнений. Будем считать, что скорость фильтрации жидкости по системе трещин и блоков подчиняется закону Дарси. Тогда, очевидно,

(XVI1.3) (XVII.4)

Для трещиноватых пористых сред, характеризуемых условиями ε _т< < 1, ε _п< < 1 в отдельных случаях можно пренебречь соответ­ствующими членами (XVII.1) и получить более простую систему уравнений:

(XVI 1.5)

или же уравнение, решенное относительно давления в трещинах,

(XVI1.6)

где η ₆ = К_т/α б = χ τ ₃; α _б— безразмерный коэффициент, характе­ризующий интенсивность обмена жидкости блоков и трещин. Коэффициент η _б характеризует трещиноватую среду. При стремлении η _б к нулю, что соответствует уменьшению размеров блоков и возрастанию степени развитости трещиноватости породы, уравнение (XVII.6) стремится к обычному уравнению фильтрации жидкости при упругом режиме.

Однако в природных условиях часто встречаются трещиновато-кавернозные среды, у которых величины ε _т и ε _п могут принимать самые различные значения и поэтому не всегда ими можно пре­небрегать. Так, если изменение давления в трещинах гораздо больше изменений давлений в блоках то пренебрегать слага­емым ε _т = dР_т/dt нельзя и поэтому (при ε _п→ 0) уравнения (XVII.1) могут быть сведены к следующей системе:

(XVII.7)

Наконец, если изменения давления в блоках гораздо больше изменения давления в трещинах, тогда разделяющая система уравнений будет (ε _т→ 0)

(XVI1.8)

Из возможных физически оправданных постановок краевых задач предпочтение надо отдать построению решений для давления в трещинах при учете их сжимаемости ε _тβ _т*≠ 0 Действительно, именно по градиенту давления определяется внешний приток жидкости в среду, а сохранение сжимаемости ε _тβ _т*≠ 0 позволяет не изменять начальные условия (XVII.7). Более того, именно эта эффективная (упрощенная) система уравнений описывает при конечных значениях параметра ε _т характер фильтрации однород­ной капельной жидкости в кавернозно-трещиноватых пористых средах. Поэтому ниже остановимся подробнее на более точном выводе уравнения.

При постоянном давлении на кровле пласта вышележащей толщи горных пород пористость трещин m_т и блоков m_п зависят от давления в них жидкости P_т и P_п так что

(XVII.9) (XVII.10)

Где β _ст, * β _сп, β *, β ** — положительные постоянные коэффициенты. Уравнения сохранения массы жидкости для обеих сред имеют соответственно вид

(XVII.11) (XVII. 12)

где q — масса жидкости, вытекающей из пор в трещины в еди­ницу

времени на единицу объема плотность жидкости.

(XVII. 13) (XVII.14)

Считая, что движение жидкости в трещиноватой среде (и тем самым, заведомо в пористой) безынерционное, получим выражение закона Дарси для обеих сред.

Подставляя в уравнения получим систему уравнений

(XI1.15)

где m_от — коэффициент трсщиноватости при начальном давлении; К_п — коэффициент проницаемости блоков в м².

При изменении давления Р_п, например, в сторону уменьше­ния при постоянном давлении на кровле вышележащей толщи горных пород пористость m_т с одной стороны увеличивается за счет сжатия блоков, а с другой — уменьшается за счет сдавливания вышележащими горными породами. Эти эффекты, по-видимому, в какой-то мере взаимно компенсируются. Аналогичное обстоя­тельство имеем и для пористости m_п, при изменении давления Р_т. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть модель двойной пористой среды, для которой пористость зависит только от соответствующего давления, так что можно коэффициенты β * и β ** в формулах (XVII.9) и (XVII. 10) считать малыми и соответствующими членами в уравнения (XVII.9) и (XVII.10) пренебречь.

Уравнения (XVII. 15) для такой модели пористой среды с двой­ной пористостью принимают вид, аналогичный уравнениям тепло­передачи в гетерогенной среде.

(XVII. 16)

или

(XVII.17)

коэффициент пьезопроводности пористых блоков в м²/с;

где

отношение упругоемкостей трещин и блоков;

В трещиновато-пористой среде упругоемкость системы трещин намного меньше упругоемкости системы пористых блоков и прони­цаемость блоков намного меньше проницаемости трещин. Поэтому при времени, сравнимом с t, и вдали от скважины, членами

можно пренебречь, тогда система (XVII.17) примет вид:

(XVII.19)

Характерное свойство неустановившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористых породах — некоторое запаздывание переходных процессов; время этого запаздывания

(XVI1.20)

Безразмерный коэффициент α _б зависит от проницаемости блоков и степени развитости трещиноватости породы, в каче­стве меры которой естественно взять удельную поверхность тре­щин σ _п, т. е. поверхность трещин, приходящуюся на единицу объема породы. Величина σ _п имеет размерность обратной длины. Из соображений анализа размерностей следует, что α _б ≈ σ ²_п к_п Откуда из (XVII.6)

(XVII.21)

или

(XVII. 22)

где l c чертой — средний размер отдельного блока (удельная поверхность трещин обратно пропорциональна среднему размеру отдельного блока); Кр — коэффициент пропорциональности.

Небольшие значения τ ₃ соответствуют либо большой пьезо­проводности блоков, либо малому характерному их размеру. И в том и в другом случае среда приближается к однородной по­ристой.

Большие значения τ ₃ соответствуют либо большому харак­терному размеру блока, либо малой пьезопроводности их. И то и другое препятствует перетоку жидкости из блоков в трещины. Среда при этом приближается к чисто трещиноватой. Промежу­точные значения τ ₃ соответствуют трещиновато-пористой среде.

Те же выводы можно сделать и на основе анализа системы уравне­ний (XIV.17). При значении τ ₃ = О имеем Р_т = Р_п, т. е. средние давления в трещинах и блоках одинаковы и среда ведет себя как однородная. При τ ₃ = ∞ система уравнений (XIV.17) разделяется на два уравнения фильтрации — в трещинах и блоках, т. е. блоки оказываются как бы изолированными, непроницаемыми и среда ведет себя как чисто трещиноватая. Иначе говоря, параметр τ ₃— мера неоднородности породы пласта.

Как видно из зависимости (XVII.22), по значению параметра τ ₃ можно судить о характерном размере блока. Коэффициент пьезопроводности блоков можно определить по данным лабораторных исследований. Зная χ _п, удельную поверхность блоков σ _п, можно найти τ ₃.

Характерное время запаздывания τ ₃ определяется по данным гидродинамических исследований скважин при нестационарном режиме.

Покажем один из способов определения этого параметра. С этой целью воспользуемся дифференциальным уравнением (XVII.6).

При постоянных η _б, и χ _т и после замены Р_т = Р₀—Δ Р_т уравне­ние (XVII.6) для радиальной фильтрации будет иметь вид

(XVI 1.23)

Интегрируя последнее уравнение при начальном

и граничных условиях

получим (зависимость, справедливую при достаточно большом t)

(XVII.24)

где γ _э — постоянная Эйлера, равная 1, 781072....

Параметр τ ₃ = η _б / χ _п, следуя Р. И. Медведскому, приближенно можно определить, используя точку пересечения продолжений горизонтального и наклонного участков кривой восстановления давления (рис. XVII.1).

Уравнение горизонтального участка кривой восстановления давления

(XVII.25)

и наклонного

(XVII.26)

Абсцисса их точки пересечения In t₁ определится равенством (XVII.25) и (XVII.26), из которого следует

(XVII.27)

Рис. XVII.1. Определение времени запаздывания переходных процессов τ ₃ по кривой восстановления давления.

Рис. XVII.2. Модель противоточной капиллярной пропитки r1, г2, — радиусы капилляров (I—II); В— вода; Н — нефть; L — длина капилляра

Гидропроводность пласта можно определить из уравнения на­клонного участка кривой восстановления давления, а пьезопроводность — из уравнений (XVII.25) и (XVII.27).

можно определить характерный линейный размер блоков.

или при

получим приближенную зависимость

Наряду с описанным методом Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова и И. Н. Кочиной существуют методы Дж. Е. Воррена и П. Дж. Руута, Ф. И. Котяхова, А. С. Одеха и др.

По Дж. Е. Воррену и П. Дж. Руту трещиновато-пористый, пласт характеризуется (дополнительно к гранулярному) еще двумя параметрами Х„ и сот, позволяющими определять трещиноватость пласта (раскрытие трещин, их число).

При изучении вопросов противоточной капиллярной пропитки наибольшее внимание уделяется изучению зависимости нефте­отдачи коллектора от температуры, давления, скорости вытесне­ния, характера смачиваемости пористой среды, ее микронеоднородности. Простейшую модель микронеоднородпой пористой среды можно представить в виде капилляра переменного сечения, как это показано па рис. XVII.2.