Дисперсия дискретной случайной величины

Рассмотрим следующий пример. Пусть случайные величины и имеют следующие законы распределения:

Нетрудно проверить, что они имеют равные математические ожидания: . В то же время рассеивание значений вокруг математического ожидания у явно больше, чем у . Это рассеивание выражается отклонениями реализованных значений от математического ожидания, то есть разностями и , соответственно.

Определение. Пусть у случайной величины существует математическое ожидание . Случайная величина со значениями называется отклонением (от математического ожидания).

Если при большом числе реализаций случайной величины просуммировать полученные отклонения, то их значения разных знаков в значительной степени погашают друг друга, и такая сумма не может служить мерой рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания. Для того чтобы избежать подобного взаимного погашения, отклонения перед суммированием возводят в квадрат.

Определение. Пусть у случайной величины существует математическое ожидание . Ее дисперсией называется число

, (4)

то есть математическое ожидание квадрата отклонения.

Статистический смысл дисперсии:

Д исперсия служит мерой рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания.

Общее определение дисперсии принимает применительно к дискретной случайной величине следующий вид:

1) Если является дискретной случайной величиной с конечным множеством значений и законом распределения

,

то отклонение имеет закон распределения

,

и, в соответствии с определением математического ожидания:

. (5)

2) Если является дискретной случайной величиной с бесконечным множеством значений и законом распределения

,

то

. (6)

Если ряд в правой части (6) расходится, то считают, что дисперсия не существует.

Замечание. Если у случайной величины не существует математического ожидания, то понятие дисперсии для нее не вводится.

Пример. 1. Пусть закон распределения имеет вид:

Вычисление дисперсии предполагает предварительное вычисление математического ожидания:

.

Далее, .

2. Для приведенных в начале этого параграфа законов распределения получаем:

;

;

.

Среднее квадратическое отклонение. В случае, когда случайная величина имеет размерность (метры, килограммы и т. п.), размерность дисперсии равна квадрату размерности . Поэтому наряду с дисперсией в качестве меры рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания применяют также арифметический квадратный корень из дисперсии. Последний уже имеет размерность, совпадающую с размерностью .

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины , называется число

.