Коэффициенты Тейлора функции.

Если функция является суммой степенного ряда, то из теоремы о почленном дифференцировании (п. 2.4) следует, что она является бесконечно дифференцируемой в интервале сходимости. Однако произвольная бесконечно дифференцируемая в интервале функция может и не быть в этом интервале суммой степенного ряда.

Теорема. Пусть функция является суммой степенного ряда (20) в окрестности точки :

. (29 )

Тогда коэффициенты этого ряда определены однозначно и имеют вид:

. (30)

(для сохранения единства обозначений полагают ).

Доказательство. Полагая в равенстве (29) , получаем .

Продифференцируем равенство (29) (причем степенной ряд в левой части — почленно):

(31)

Полагая здесь , получаем .

Продифференцируем равенство (31): .(32)

Полагая здесь , получаем:

.

Продифференцируем равенство (32):

.

Полагая здесь , получаем:

, и так далее.

После -го дифференцирования получаем при :

. ■

Определение. Пусть функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки . Коэффициентами Тейлора функции в точке называются числа .